привести к каноническому виду

[valysha]

осталась только одна нерешённая задача из контрольной работы. помогите, пожалуйста, с решением:
Используя ортогональное преобразование, привести к каноническому виду уравнение кривой 24xy+3y^2-36=0 и найти формулы преобразования координатнашла формулы преобразования осей координат:
x=(1/sqrt(2))*x'+(1/sqrt(2))*y';
y=(-1/sqrt(2))*x'+(1/sqrt(2))*y';
после подставления получила:
24*(sqr(y')/2-sqr(x')/2)+3*(sqr(y')/2-(2x'y')/2+sqr(x')/2)-36=0;
на этом всё... не знаю, что делать с 2x'y'. без этого получилось бы уравнение эллипса.
подскажите, пожалуйста, как преобразовать получившееся уравнение?

[Nikgamer]

Так вы же неверно подставляете! При подстановке, получится, что коэффиценты перед x'² и y'² будут в точности равны двум различным собственным числам, а коэффицент перед xy обратится в ноль. Фишка только в том, что с.ч. у вас, походу, иррациональные будут, так что это невесело все делать.
Гораздо проще предсказать, что получится, используя инварианты. Дело в том, что у кривой 2 порядка существуют три неизменяемые инварианты - след м-цы, определитель и определитель расширенной. Советую почитать про это дело. Так вот, если прочтете классификацию по инвариантам, то получите, что данная кривая - это гипербола. Но так как вам все таки нужно именно уравнение, то подставляйте иррациональные лямбды и приводите к каноническому виду. И да, советую все таки разобраться до конца, что происходит с уравнением кривой, когда вы применяете ортогональное преобразование (грубо говоря, это поворот координатных осей)

[valysha]

ммм...да... много непонятного. во-первых, если я подставляю неверно, то что и вместо чего надо подставить, чтоб верно было??? я так поняла, что в первоначальное уравнение кривой вместо x и y подставляем преобразованные(в просмотренных мной примерах было сделанно именно так). собственно говоря, так я и делала... во-вторых, вы говорите подставить лямбды. вместо чего? и зачем тогда надо было находить формулы преобразования? 

[Nikgamer]

Ну вы вообще представляете, что у вас происходит? Вы находите такой базис, чтобы ваша матрица принимала бы в нем диагональный вид с собственными числами по диагонали. Эта матрица Q, составленная из ортонормированного базиса из собственных векторов. Тогда, коэффиценты в уже штрихованных координатах будут в точности собственными числами, а попарные произведения уйдут в ноль, потому что у вас матрица диагональная. Потом вам надо сворачивать все в квадраты и еще одну замену делать, чтобы уже прямо привести к каноническому виду.