Нужна помощь в решении дифференциального уравнения второго порядка

[rublyu]

Всем привет
вот блин не сомневаюсь в решении уравнения
уравнение y''-y=e^-x начальные условия y(0)=1 y'(0)=1
корни k₁=-1; k₂=+1
общее решение будет тогда  y=C₁*e^-x+C₂*e^x
y'=-C₁*e^-x+C₂*e^x
получим сист уравнение с начальными условиями
1=C₁*e⁰+C₂*e⁰
1=-C₁*e⁰+C₂*e⁰
тогда
С₁+С₂=1
-С₁+С₂=1
находим С₁=0 и С₂=1 подставляем в общее решение и отсюда мы находим частное производное???
если где я ошибаюсь поправьте меня

[Афанасыч]

Что бы проверить верно ли найдена функция нужно найти вторую производную от неё и подставить в само уравнение, если получится верное равенство, то функция решения верное.

[rublyu]

y''=C₁*e^-x+C₂*e^x
если С₁=0
y''=e^x
его и подставляем в уравнение??

e^x-y(или за место ставим его решение т.е. e^x)=e^-x(тогда должен быть 0)

[lu]

неправильно решаете

y''-y=e^-x   y(0)=1 y'(0)=1
k₁=-1; k₂=+1

общее решение  y=C₁*e^-x+C₂*e^x

{C₁'(x)*e^-x+C₂'(x)*e^x=0
{-C₁'(x)*e^-x+C₂'(x)*e^x=e^-x

=>
{2C₂'(x)*e^x=e^-x
{2C₁'(x)*e^-x=-e^-x

{C₁=- 1/2 ∫dx +c₁ = - 1/2 x + c₁
{C₂=1/2 ∫e^-2xdx = -1/4 e^-2x+c₂

y=c₁*e^-x+c₂*e^x - 1/2 x*e^-x-1/4 e^-x
y'=-c₁*e^-x+c₂*e^x - 1/2 e^-x +1/2 x*e^-x+1/4 e^-x

y(0)=c₁+c₂-1/4 = 1
y'(0)=-c₁+c₂ - 1/2 + 1/4 = 1
 
{c₁+c₂=5/4     = >  {c₁=0
{-c₁+c₂=5/4          {c₂=5/4

y=5/4*e^x-1/2 x*e^-x- 1/4 e^-x