формула Тейлора

[alisa]

Что-то зависла я на этой теме. Прочла все, что есть об этом, из трех источников, но так и не поняла, зачем эти формулы (Маклорена и Тейлора) нужны-то? Понятно, что для разложения функций в степенные ряды, но для чего функции разлагать? Пока они в своем обычном виде, их еще можно воспринимать, но когда разложены, то вообще уже ничего не понятно, так сложно становится.
По-моему, это еще один из способов надевать штаны через голову. Ведь гораздо проще подставить значение переменной в обычную, не изуродованную разложением формулу, и найти функцию.
Объясните, пожалуйста, что с этими формулами и рядами Тейлора делать, для чего их применяют. Только популярно, для "особо одаренных". Так, чтобы я могла это запомнить и повторить на экзамене, если спросят. Просьба не ерничать, я и сама знаю, что не Софья Ковалевская.

[Semen_K]

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

 Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

 Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Все вычисления в калькуляторе построены на том, что некая функция хоть и выглядит не очень красивой после разложения в ряд но за то очень удобно вычислять.

Возьмите например прстую функцию sin(x) и вам нужно вычислить допустим sin(134) Как вы это сделаете? А вот разложив эту функцию в ряд, Вы сможете подставить в нее значение Х. При этом теория рядов позволяет узнать сколько членов ряда нужно иметь для заданной точности.

[alisa]

А откуда берется этот остаточный член? В учебниках просто говорится, что многочлен не равен функции, и между ними есть отличие - вот этот член. А почему не равен-то? Вроде буквочки все те же,что и в формуле для многочлена, ну только вместо Р идет f, а получается еще какой-то хвост бесконечно малый.