Проверьте пожалуйста дифф.уравнение, и подскажите, как решать дальше

[Lebedeva_Anna]

Здравствуйте! Проверьте пожалуйста задание:
Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифферен-циального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых
\( y'=\sqrt{1-{y}^{2}} \)   M(0;1)
данное дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
\( \frac{dy}{dx}=\sqrt{1-{y}^{2}} \)
\( dy=\sqrt{1-{y}^{2}}dx \)
\( \frac{dy}{\sqrt{1-{y}^{2}}}=dx \)
\( \int \frac{dy}{\sqrt{1-{y}^{2}}}=\int dx \)
\( arcsin\frac{x}{1}=x+C \)
\( arcsin(x)=x+C \)
А дальше решить не получается.
Как решить уравнение интегральной кривой, проходящей через точку, ведь для этого нужно подставить в общее решение вместо x, y числа (координаты точки). А у меня по условию x нету

[Dimka1]

arcsin y =x+C

[Lebedeva_Anna]

ого! а ведь и правда)))))))))и скажите, правильный ответ будет
\( arcsin(y)=x+C \)
или
\( y=sin(x+C) \)

[Dimka1]

обои правильные.
Подставьте свои ответы в исходное уравнение и убедитесь что получается верное тождество (сделайте проверку)

[Lebedeva_Anna]

ага, спасибо. Просто мне немного не понятно: в ответах написано выражение с синусом, а у меня получилось с арксинусом. Как у них получилось с синусом???

[Dimka1]

взяли синус от обеих частей равенства
arcsiny=x+C

sin(arcsin y)=sin(x+C)
y=sin(x+C)

____
sin(arcsin q) =q (при определенных значениях q)

[Lebedeva_Anna]

спасибо большое)

[Lebedeva_Anna]

Вот, что получилось в итоге:
найдем ур-е интегральной кривой, проходящую через точку М(0;1):
\( arcsin(1)=0+C\Rightarrow arcsin(1)=C\Rightarrow C=\frac{\pi }{2} \)
Уравнение интегральной кривой:
\( y=sin\left(x+\frac{\pi }{2} \right) \)
Построим ур-е еще 4-х кривых:
1)С=0 => y=sin(x)
2)C=1=>y=sin(x+1)
3)C=-1=>y=sin(x-1)
4)C=2=>y=sin(x+2)

Так верно?))

[Dimka1]

да правильно

[Lebedeva_Anna]

спасибо))