Комбинаторика. Задача: Сколькими способами можно ...

[ImThe]

Здравствуйте, попалась вроде совсем уж школьная задача, а я вот никак не могу понять что к чему, стыдно даже  

Задача следующая: Сколькими способами можно разбить 5 мужчин и 3 женщин на две группы по 4 человека, чтобы в каждой была хотя бы одна женщина.

Решение, как мне кажется, должно выглядеть так: трех женщин можно разбить на две команды количеством способов равным \( C_{3}^{2} \) Далее, дополнить команды можно \( C_{5}^{3} \) способами. Далее, интуиция подсказывает, что общее число способов будет произведением множеств \( C_{3}^{2}XC_{5}^{3} = 30 \) Но почему, какое правило тут работает? И как можно просто проверить ответ?

[Dev]

Не очень понятно, различимы ли (а) люди и (б) группы. Иначе говоря, нужно ли различать ситуации:
1) когда Марь Иванна в 1-й группе, с ней Вовочка, Вася и Петя, а остальные во второй,
2) когда Фёкла в 1-й группе, с ней Вовочка, Вася и Петя, а остальные во второй,
3) когда Марь Иванна во 2-й группе, с ней Вовочка, Вася и Петя, а остальные в первой.
Это три разных ситуации, или какие-то две из них одинаковы, или все три одинаковы.

Если считать, что 1=3, а вторая от них отлична (Вы так считали), то у нас должно быть две группы, в одной одна женщина, в другой две. Берём группу, в которой одна женщина и будем компоновать её (другая группа определится автоматически). Женщину можно брать любую из трёх (число способов это сделать?). Какую бы женщину мы ни взяли в эту группу, к ней можно добавить любых трёх мужчин из пяти (число способов это сделать?). Общее число вариантов именно поэтому и получается перемножением.

Как проверить - да взять и выписать эти варианты, раз их так мало.

[ImThe]

Спасибо. Я вроде так же и рассуждал, но препода данно объяснение не устроило. Ему подавай конкретное правило..., ну да ладно. Спасибо еще раз.

[Dev]

См. правило умножения в комбинаторике.