Помогите с векторами

[Ильгиз]

Даны векторы а1,а2,а3,а4. Показать что векторы а1,а2,а3 образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора а4 в этом базисе.

а1=(3,-1,0)
а2=(-2,1,1)
а3=(2,-1,4)
а4=(2.2.2)

Помогите плиз решить.

[Asix]

Составьте матрицу из координат первых трех вектором и найдите его определитель.
Если определитель будет равен нулю, то эти вектора линейно зависимы и базис не образуют, если определитель не будет равен нулю, то веткора линейно независмы и образуют базис.
Вторую часть задания обсудим, когда справитесь с первой частью =))

[Ильгиз]

Матрица :  3  -1  0
               -2   1  1  = (3*1*4+(-1)*(-2)*0+1*(-1)*2)-(2*1*0+1*(-1)*3+4*(-1)*(-2))= 10-5=5 так как определитель не равен нулю значит векторы образуют базис!
                2  -1  4

А дальше как?

[Asix]

А теперь необходимо решить систему уравнений

|| 3x₁ - 2x₂ + 2₃ = 2
|| -x₁ + x₂ - x₃ = 2
|| x₂ + 4₃ = 2

Тоесть выразить последний вектор через первые три =))

[Asix]

Для решения данной системы советую Вам посмотреть раздел - Примеры решения задач.
Там подробно разбирается решение СЛАУ методом Гаусса (Примеры с решением СЛАУ методом Крамера и матричным методом пока в разработке).

Также можете для проверки использовать наши программы для решения СЛАУ:
Решение системы линейных уравнений методом Крамера
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы

[Ильгиз]

А теперь необходимо решить систему уравнений

|| 3x₁ - 2x₂ + 2₃ = 2
|| -x₁ + x₂ - x₃ = 2
|| x₂ + 4₃ = 2

Тоесть выразить последний вектор через первые три =))

Не смогли бы вы пояснить последнюю строку системы уравнений?

[Ильгиз]

Вы все векторы расположили в столбец , а я матрицу строил распологая координаты векторов  в строку . Значит я совершил ошибку?

[Asix]

Нет, Вы все сделали правильно.
А я в системе уравнений составил уранения, чтобы сумма по всем координатам сводилась к вектору а₄

[3PO]

Ух ты как здорово! Зарегилась чтобы спросить про аналогичную задачу и нашла эту, спасибо большое.

[Asix]

3PO, рад был помочь =))