Доказать линейную независимость

[Nikgamer]

Доказать линейную независимость над R системы функций:
1, sin(x), sin²(x),..., sin^n(x)
Итак, идей у меня никаких нет, но я у доски доказывал определитель Вандермонда и соответственно, сенсей мягко намекнул, что стоит им воспользоваться.
Определитель Вандермонда (должен быть в вики)
     1 (x1) (x1)^2 .....................(x1)^n
     1 (x2) (x2)^2 .....................(x2)^n
det .............................................         =      ∏ (xj-xi)
     1 (x(n+1)) (x(n+1))^2 ......(x(n+1)^n        1<=i<j<=n+1

[Nikgamer]

Решено.

[lu]

а вы решение сюда выложите, чтоб все знали ))) (конечно если не жалко)

я лично с вандермондом не встрелась, хотя может быть и проходили, в общем помню токо название %-)

[Nikgamer]

Окей. Докажем линейную независимость.
Распишем это. т.е. a0+ a1sin(x) +..+ ansin^n(x)=0 - при определенных значениях х - это система линейных уравнений для а0...аn (где n - номер). Возьмем х из [0, pi/2] т.е. определенные и не совпадающие значения. Тогда система лин. ур-ий выглядит так:
sin(x0)=y0 sin(x1)=y1 ... sin (nx)=yn
Тогда
a0+a1*y0+...+an*y0^n=0
a0+a1*y1+...+an*y1^n=0
...
a0+a1*yn+...+an*yn^n=0

тогда матрица этой системы - это в точности матрица Вандермонда, а про неё известно, что |A|≠0, значит система имеет единственное решение, которое, очевидно, будет нулевым, т.е. a0=a1=...=an=0. ЧТД