Проверьте, нужно упростить с помощью символа Леви - Чивиты

[Fairmont]

Нужно упростить с помощью символа Леви - Чивиты.
\( (\left [ \vec{a}x\vec{b} \right ],\left [ \vec{c}x\vec{d} \right ])  \)=
\( \left [ \vec{a}x\vec{b} \right ]_{i},\left [ \vec{c}x\vec{d} \right ]_{i} \)
\( E_{ijk}a_{j}b_{k}E_{ilm}c_{l}d_{m} \)=\( (\partial _{jl}\partial _{km}-\partial _{jm}\partial _{kl})a_{j}b_{k}c_{l}d_{m} \)=
\( a_{j}b_{k}c_{{\color{Red} l}}d_{m}\partial _{j{\color{Red} l}}\partial _{km}-a_{j}b_{k}c_{l}d_{{\color{Red} m}}\partial _{j{\color{Red} m}}\partial _{kl} \)=
\( a_{j}b_{k}c_{j}d_{{\color{Red} m}}\partial _{k{\color{Red} m}}-a_{j}b_{k}c_{{\color{Red} l}}d_{j}\partial _{k{\color{Red} l}} \)=
\( a_{j}b_{k}c_{j}d_{k}-a_{j}b_{k}c_{k}d_{j} \)=\( (\vec{a},\vec{c})(\vec{b},\vec{d})-(\vec{a},\vec{d})(\vec{b},\vec{c}) \)

[Fairmont]

Есть специалисты в этой области?