Доказать, что это составное число

[Logain]

Доброго времени суток.
Необходимо доказать, что \( {1589}^{2}-1 \) является составным числом.
Я имею понятие о том, что такое составное число. Вычисляя пример выше, можно получить число 2524920, его можно просто делить по очереди на различные простые числа, но я думаю, что это не самый подходящий способ. В указаниях есть такое: квадрат нечётного числа - чётное число, а у нас 1589 в квадрате будет почему-то нечётным - 2524921. Тогда как?
Буду очень признателен за помощь.

[Dimka1]

Доброго времени суток.
Необходимо доказать, что \( {1589}^{2}-1 \) является составным числом.
Я имею понятие о том, что такое составное число. Вычисляя пример выше, можно получить число 2524920, его можно просто делить по очереди на различные простые числа, но я думаю, что это не самый подходящий способ. В указаниях есть такое: квадрат нечётного числа - чётное число, а у нас 1589 в квадрате будет почему-то нечётным - 2524921. Тогда как?
Буду очень признателен за помощь.

(1589-1)(1589+1)=1588*1590

т.е. Ваше число 2524920 можно разбить на составные множители 1588*1590

[Logain]

Попробую разобраться, не очень понял.
\( {1589}^{2}-1 = 2524920 \) - элементарные подсчёты.
2524920 можно разложить на простые числа 1588 и 1590.
А \( 1588*1590 = (1589-1)(1589+1) \).
Но... что это даёт? То, что мы можем разложить 2524920 на простые числа 1588 и 1590 уже является доказательством того, что \( {1589}^{2}-1 \) - составное? Тогда зачем строка \( 1588*1590 = (1589-1)(1589+1) \)?

[Завада]

В указаниях есть такое: квадрат нечётного числа - чётное число.

Неужто трудно сообразить, что квадрат нечётного числа - нечётное число?

[Dimka1]

В указаниях есть такое: квадрат нечётного числа - чётное число.

Неужто трудно сообразить, что квадрат нечётного числа - нечётное число?

Составное число состоит из произведения простых, например 4=2*2 или 8=4*2=2*2*2
Чтобы не вычисляя число 1589^2-1 представить в виде произведения нужно применить формулу
a^2-b^2=(a-b)(a+b)

p.s. числа 1588 и 1590 также являются составными и могут быть представлены в виде произведения других чисел.

[Logain]

Действительно, квадрат нечётного числа - нечётное число, ошибся.
Если мы можем сказать, что 1589^2-1 = (1589-1)(1589+1), то это и будет доказательством?

[Dimka1]

Действительно, квадрат нечётного числа - нечётное число, ошибся.
Если мы можем сказать, что 1589^2-1 = (1589-1)(1589+1), то это и будет доказательством?

я думаю, что да. Но Вы можете "пошуршать" в интернете и посмотреть примеры других доказательств.

[Белый кролик]

Вашу задачу можно доказать, используя признаки делимости и сравнения. Подробно(на элементарном уровне) этот материал разобран в учебнике Колягина "Алгебра и начала анализа, 10 класс, профильный уровень"(глава 2), или в учебнике М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев "Алгебра и начала математического анализа,11 класс"(глава 19).

[Logain]

Белый кролик, спасибо. Шабунин об этом рассказывает, а вот в учебнике Колягина вторая глава - показательная функция.
А если бы в нашем примере число было бы не во второй степени, а, например, в 39, то как нужно бы было поступать?

[Dimka1]

Белый кролик, спасибо. Шабунин об этом рассказывает, а вот в учебнике Колягина вторая глава - показательная функция.
А если бы в нашем примере число было бы не во второй степени, а, например, в 39, то как нужно бы было поступать?

Давай, Белый кролик, отвечай.

[Белый кролик]

Во-первых, учебник Колягина нужно смотреть для базового и профильногоуровней (это один учебник, он так и называется).
Во-вторых,чтоб доказать,что число \( 1589^(39) \)-1 составное, докажем, что оно делится на 1, \( 1589^(39) \)-1 и на 2. Опять же признаки делимости нам в помощь.
Да, еще в учебнике Мордковича (для профильного уровня) есть эта тема. Можно еще скачать(www.poiskknig.ru) книжку Виноградова "Основы теории чисел", но там мудрено, не для первого ознакомления.

[Logain]

Докажем, что оно делится на 1, 1589^39-1 и на 2.
Простые числа делятся на единицу и на самих себя, тогда зачем нужно делить 1589 на первые два предложенные варианта?
Признаки делимости в помощь. Но не буду же я число 1589 возводить в 39-ю степень и вычитать из неё единицу для того, чтобы определить, делится ли оно на 2. Наверное, должен быть какой-то алгоритм.

[Dimka1]

Докажем, что оно делится на 1, 1589^39-1 и на 2.
Простые числа делятся на единицу и на самих себя, тогда зачем нужно делить 1589 на первые два предложенные варианта?
Признаки делимости в помощь. Но не буду же я число 1589 возводить в 39-ю степень и вычитать из неё единицу для того, чтобы определить, делится ли оно на 2. Наверное, должен быть какой-то алгоритм.

1589³⁹-1=1589^13*3-1=(1589¹³) ³-1
а теперь как разность кубов

(1589 ¹³-1)(1589 ^13*2+1589 ¹³+1)=
[411728247472851206127502148554124975172868]*[169520149767065405605012499362080446732763261845873956608263553257705239761408864031]



т.е. разбили на произведение двух чисел. т.е. уже показали, что число 1589³⁹-1 составное

[Завада]

Не буду же я число 1589 возводить в 39-ю степень и вычитать из неё единицу для того, чтобы определить, делится ли оно на 2.

Любая натуральная степень нечётного числа - нечётное число.
Вычитаем единицу и получаем чётное число, то есть составное.

[Logain]

Большое спасибо, Dimka1 и Завада, всё понял и записал оба варианта. Где бы доступно почитать о тех самых методах? Кроме источников, предлагавшихся ранее.