Помогите решить задачу по монеты

[Dima123456789]

У глеба есть 30 монет.они имеют достоинства 10,15,20 копеек. Всего денег больше 5 рублей.докажите,что 20-копеечных монет у него больше,чем 10-копеечных

[Hellko]

если взять 30 монет достоинством 10 копеек то будет только 3 рубля это мало.
если взять х монет достоинством 10 копеек и у монет достоинством 20 копеек то
х+у=30 а 10х+20у=500 получим 10 монет достоинством 10 копеек и 20 монет достоинством 20 копеек.
Это максимально возможное количество монет по 10к из 30 монент для достижения суммы в 5 рублей.

зы. надо больше 5 рублей, так что вместо одной 10к возьмем 15к. 9<20

[renuar911]

Докажу чисто аналитически. Решаем систему

10x+15y+20z=500
x+y+z=30

относительно y и z:

y=20-2x  ;  z=x+10  

Видно что количество 20-копеечных монет z должно быть больше, чем 10-копеечных монет x.
Такой подход позволяет оценить количество решений задачи - их ровно 11:

10 к.   15 к.     20 к.
------------------------
 0        20         10
 1        18         11
 2        16         12
 3        14         13
 4        12         14
 5        10         15
 6          8         16
 7          6         17
 8          4         18
 9          2         19
10         0         20
==============
 x          y          z

[Завада]

Если количество 20-копеечных монет равно количеству 10-копеечных, то средняя стоимость всех монет равна (10а+20а+15*(30-2а))/30=15.
Если количество 20-копеечных монет меньше количества 10-копеечных, то средняя стоимость всех монет меньше 15.
В этих случаях у Глеба не больше 0,15*30=4,5р.
Значит, 20-копеечных монет больше,чем 10-копеечных.

[Завада]

Такой подход позволяет оценить количество решений задачи - их ровно 11:

Это количество решений другой задачи. В оригинале денег больше 5 рублей.