комплексные корни

[Selyd]

Не вычисляя корней, сказать сколько комплексных корней имеет уравнение.
Например:
\( x^5+x^3+x^2-4x-2=0. \)

[tig81]

Или 2, или 4.

[Selyd]

Действительных или 1, или 3.

[tig81]

Действительных или 1, или 3.

Или все действительные

[Hellko]

20x^3+6x+2=0.

задача сводится к решению уравнения третьей степени (второй производной) и в зависимости от знаков корней мы уже определим 1 или 3 действительных корня (не 5 потому что третья производная не пересекает ось ОХ)

[tig81]

20x^3+6x+2=0.
задача сводится к решению уравнения третьей степени (второй производной) и в зависимости от знаков корней мы уже определим 1 или 3 действительных корня (не 5 потому что третья производная не пересекает ось ОХ)

Это вы алгоритм Штурма?

Selyd , а чем вызван такой вопрос?

[Hellko]

понятия не имею какой алгоритм)
я просто нашел третью производную, узнал что она вся выше оси ОХ. значит вторая производная возрастает на всей области определения. а раз все время возрастает значит 1 раз пересекается с осью ОХ, а это значит что первая производная имеет 1 минимум. узнаем находится ли он ниже оси ОХ. если да(это довольно легко установить), то исходная функция возрастает потом убывает и снова возрастает. отсюда следует что действительных корней либо 1, либо 3 (2 одинаковые), либо 3.
Надо узнать находится ли минимум функции ниже оси ОХ или нет.
а там решение уравнения 5x^4+3x^2+2x-4=0. вообще нас интересует пересечение правой ветви этой "параболы" с осью ОХ. найдем координаты пересечения. подставим в исходную функцию и если <=0 то 3 действительных корня, иначе 1.

помоему проще прикинуть график.

ps/ а какое решение самое простое?

[renuar911]

Постройте график вашей функции и убедитесь: пересечение оси ОХ происходит в трех местах. Значит, 3 действительных корня и 2 комплексных. И никак иначе!

[Selyd]

Натолкнулся на испанском форуме.
Уже долго висит без идей.
Сказано без вычисления и без графика.
Указать количество. Исследовал так, как Hellko.

[tig81]

Понятно

Можете также почитать про систему полиномов Штурма

[Hellko]

Почитал про теорему Штурма. интересно .
Имеем функцию \( f_1=x^5+x^3+x^2-4x-2 \)
Найдем у нее диапазон в котором располагаются корни.
a=1 b=0 c=1 d=1 e=-4 f=-2 n=5
\( n\left|\frac{b}{a}\right|, \sqrt[2]{n\left|\frac{c}{a}\right|}, \sqrt[3]{n\left|\frac{d}{a}\right|}, \sqrt[4]{n\left|\frac{e}{a}\right|}, \sqrt[5]{n\left|\frac{f}{a}\right|} \)
Из этих чисел выберем самое большое \( N=\sqrt{5} \)
Значит все действительные корни уравнения располагаются в промежутке \( \left[-N;+N\right] \)

Теперь необходимо составить ряд штурма так: 1 член ряда это само уравнение, 2 член его производная, 3 и далее остатки от деления 1 члена на 2ой, 2ого на 3ий итд. взятые с противоположеным знаком.

\( f_1=x^5+x^3+x^2-4x-2 \)
\( f_2=f_1'=5x^4+3x^2+2x-4 \)
\( f_3= -(f_1\mod f_2)=-\frac{2}{5}x^3-\frac{3}{5}x^2+\frac{16}{5}x+2 \)
\( f_4= -(f_2\mod f_3)=-\frac{217}{4}x^2+33x+\frac{83}{2} \)
\( f_5= -(f_3\mod f_4)=-\frac{112120}{47089}x-\frac{63800}{47089} \)
\( f_6= -(f_4\mod f_5)=-\frac{163\ldots}{31\ldots} \)

Теперь составим таблицу знаков значений для каждого члена ряда подставив туда \( ±N \).

\( f \)	\( x=-N \)	\( x=+N \)
\( f_1 \)	\( - \)	\( + \)
\( f_2 \)	\( + \)	\( + \)
\( f_3 \)	\( - \)	\( + \)
\( f_4 \)	\( - \)	\( - \)
\( f_5 \)	\( + \)	\( - \)
\( f_6 \)	\( - \)	\( - \)

Видно что в первом столбике знак меняется 4 раза, а во втором столбике 1 раз.
Следовательно дйствительных корней 4-1=3

[tig81]

Совпало 

[Selyd]

Передал на испанский форум с указанием нашего.

[Dimka1]

Передал на испанский форум

А дайте ка пожалуйста ссылку на этот форум.

[Selyd]

Получите-ка
ссылка
Успехов!