Разложение в ряд Тейлора

[ImThe]

Доброе время суток, уважаемые форумчане. Помогите пожалуйста разложить функцию в ряд Тейлора.

Разложить функцию в точке х=-2 функцию \( \sqrt[3]{4-2x} \)

Сразу скажу, что раскладывать по формуле \( \sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (c) \over k!} (x - c)^k \) я умею? об этом мне рассказывать не надо , но в данном случае этот метод мне не подходит, так как ряд бесконечен, и требуется написать формулу ряда. Препод сказал, использовать ряд Макларена и замену переменной, но что конкретно он имел ввиду мне непонятно. Если кто-то из форумчан сталкивался с подобным заданием или знает, как такое решать, пожалуйста помогите.

Спасибо.

p.s. Гугл не помог.

[Dimka1]

8^(1/3)-1/12*8^(1/3)(x+2)-1/144*8^(1/3)(x+2)^2-5/5184*8^(1/3)(x+2)^3-5/31104*8^(1/3)(x+2)^4-11/373248*8^(1/3)(x+2)^5

[ImThe]

Dimka1 Ну это-то я знаю, и уже посчитал. Вопрос в другом, как получить такой ответ используя ряд Макларена и замену переменной? Ну или каким либо другим способом, кроме как посчитать по определению ряда Тейлора.

[tig81]

Посмотрите ряд Маклорена \( (1+m)^t \)

[Hellko]

Dimka1 Ну это-то я знаю, и уже посчитал. Вопрос в другом, как получить такой ответ используя ряд Макларена и замену переменной? Ну или каким либо другим способом, кроме как посчитать по определению ряда Тейлора.

ряд макларена это частный случай ряда тейлора для окрестности точки х=0.
у нас дано х=-2 т.е. надо сделать замену z=x+2=0 и рассматривать как ряд макларена (вроде бы)

[ImThe]

Посмотрите ряд Маклорена

Хорошо:

\( \sqrt[3]{4-2x} \)=\( \sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{1-1/2x} \approx \sqrt[3]{4}\cdot \left ( 1- x/6 -x^2/36 -(5 x^3)/648 -(5 x^4)/1944 -(11 x^5)/11664 +O(x^6)\right ) \)
Это в точке x=0 Что теперь сделать, чтобы получить ряд в точке x=-2? Как я понял, мне советуют принять новую переменную t=(x+2) А дальше что, куда подставлять эту (x+2)?

[tig81]

Вместо t, т.е. х.

[ImThe]

Вместо t, т.е. х.

Тогда не сходится с ответом.

[tig81]

Тогда не сходится с ответом.

Показывайте полное решение, посмотрим+разложить в ряд можно также по определению ряда Тейлора, т.е. находя производные.

[ImThe]

Показывайте полное решение, посмотрим

Дык выше вроде подробно написал В ряд Маклорена:

\( \sqrt[3]{4-2x} \)=\( \sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{1-1/2x} \approx \sqrt[3]{4}\cdot \left ( 1- x/6 -x^2/36 -(5 x^3)/648 -(5 x^4)/1944 -(11 x^5)/11664 +O(x^6)\right ) \)

По определению ответ получается такой:

8^(1/3)-1/12*8^(1/3)(x+2)-1/144*8^(1/3)(x+2)^2-5/5184*8^(1/3)(x+2)^3-5/31104*8^(1/3)(x+2)^4-11/373248*8^(1/3)(x+2)^5

Т.е. простой подстановкой х+2 не обойтись. Видимо придется долбить препода по этому поводу.
p.s. Препод не принимает решение по определению.

[tig81]

Дык выше вроде подробно написал В ряд Маклорена:
\( \sqrt[3]{4-2x} \)=\( \sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{1-1/2x} \approx \sqrt[3]{4}\cdot \left ( 1- x/6 -x^2/36 -(5 x^3)/648 -(5 x^4)/1944 -(11 x^5)/11664 +O(x^6)\right ) \)

Это разложение в ряд Маклорена

Т.е. простой подстановкой х+2 не обойтись.

Вы думаете? Т.е. пробовали? ПОдставьте, раскройте скобки, сведите подобные.

Видимо придется долбить препода по этому поводу.

Попробуйте, иногда очень помогает.

p.s. Препод не принимает решение по определению.

А чем аргументирует? А как надо? По определению, т.е. с использованием производной?

[ImThe]

Вы думаете? Т.е. пробовали? ПОдставьте, раскройте скобки, сведите подобные.

Да, пробовал, только на листке, просто перепечатывать все сюда я замучаюсь

Попробуйте, иногда очень помогает.

Тем более, что в моем случае это похоже единственный выход

А чем аргументирует?

А ничем Просто так захотелось видимо Да, по определению, это с использованием производных. Этот способ и описан во всех задачниках, что я видел. А ему надо как-то через ряды Маклорена

[Hellko]

сделал замену x=z-2 получил ряд макларена для окресности z=0 подставил z=x+2
ответ получился как у

8^(1/3)-1/12*8^(1/3)(x+2)-1/144*8^(1/3)(x+2)^2-5/5184*8^(1/3)(x+2)^3-5/31104*8^(1/3)(x+2)^4-11/373248*8^(1/3)(x+2)^5

на первый взгляд не понятно, но после некоторых преобразований оно идентично.

ссылка

[ImThe]

на первый взгляд не понятно, но после некоторых преобразований оно идентично.

Значит я уже просто насчитался на сегодня  Ладно, будем считать, что метод работает 
tig81, Hellko Большое вам СПАСИБО!

[tig81]

Да, пробовал, только на листке, просто перепечатывать все сюда я замучаюсь

Можете посмотреть прикрепленную тему: Как вставить картинку на форум
+ тем более

сделал замену x=z-2 получил ряд макларена для окресности z=0 подставил z=x+2
ответ получился как у

8^(1/3)-1/12*8^(1/3)(x+2)-1/144*8^(1/3)(x+2)^2-5/5184*8^(1/3)(x+2)^3-5/31104*8^(1/3)(x+2)^4-11/373248*8^(1/3)(x+2)^5

на первый взгляд не понятно, но после некоторых преобразований оно идентично.
ссылка