Кол-во представлений натурального числа в виде суммы квадратов двух целых чисел

[Astro]

Добрый день.



Не могу понять, что такое a_i в формуле?

[tig81]

А откуда взята теорема?

[Nikgamer]

а что такое эти \( a_1...a_r \)? Цифры десятичной записи \( m \)?
И вообще, как это странно. Вот, например число 0. У него сколько тогда получается вариантов ?

[Astro]

А откуда взята теорема?

Нашел в Интернете лекции по теории чисел, уже не помню где, но там не расписано толком ничего.

а что такое эти \( a_1...a_r \)?

Это я и хотел узнать.

И вообще, как это странно. Вот, например число 0. У него сколько тогда получается вариантов ?

Ноль не является натуральным числом, а я в теме про количество разложений для натуральных чисел спрашивал. Но даже если и ноль рассмотреть, то для ноля формула тоже справедлива, там же написано - если число сомножителей равно 0, то произведение считается равным 1 и получается: (1+1)/2 = 1. Для ноля один вариант: 0 = 0²+0².

Насколько я понял, a_i это показатели простых делителей числа, которые на 1 превосходят кратное четырех. Например, для 25: Простым делителем, которое на 1 превосходит кратное четырех, является 5. 5² также превосходит на 1 кратное четырех и является делителем для исходного числа. Получается показатель равен 2. По формуле получается ((2+1)+1)/2 = 2. Два способа. Так и есть: 25 = 3²+4² и 25 = 5²+0². Для 65: Простыми делителями, которые на 1 превосходят кратное четырех, являются 5 и 13. 5² также превосходит на 1 кратное четырех, но не является делителем для исходного числа. Получается показатели a₁ = 1 и a₂ = 1. По формуле получается ((1+1)*(1+1)+1)/2 = 5/2. В таких случаях принято отнимать единицу от числа, которое нужно разделить. Получается 4/2 = 2. Так и есть: 65 = 4²+7² и 65 = 8²+1².