Исследование функции

[Ozavrik]

Добрый день.

Спустя 10 лет после окончания инстиута, необходимо исследовать функцию вида: y=(x+1)^3/(x-2)^2

Кое-что я все-таки сделала.

Посмотрите, пожалуйста, если есь ошибки, буду благодарна за исправления:

1) Область определения. Функция опеределена для всех х, кроме тех, которые обращают знаменательв 0: х=2. D(у)= (-∞;2) и (2; +∞).

Предел = ∞, т.е. х=2 - двусторонняя осимптота (верт)

2) Точки пересечения с осями координат:
Ось Ох: y=(x+1)^3/(x-2)^2 = 0 , х=0, точка (0;0)
Ось Оу: х=0, у=0, точка (0;0)

3) Функция общего вида, т.к. y (-х)=(-x+1)^3/(-x-2)^2=у(х) (не равно)
4) Экстремумы и монотонность.
Производная:
y'=((x+1)^3/(x-2)^2)'= 3*(1+x)^2/(x-2)^2 - 2*(1+x)^3/(x-2)^3

Как найти критические точки?

Убывание-возрастание - "нарисую".

5) Выпуклость и точки перегиба
Вторая производная, по-моему, будет такая:

y'=(3*(1+x)^2/(x-2)^2 - 2*(1+x)^3/(x-2)^3)'= 3*((2*(x+1)/(x-2)^2)-2*(x+1)^2/(x-2)^3))-2*((3*(x+1)^2/(x-2)^3)- 3*(x+1)^3/(x-2)^4))

дальше опять критические точки - ? как?

6)Наклонные асимптоты вида y=kx+b   это тоже не очень понятно.

Графики смотрела на разных сайтах - разные: ссылка, ссылка

очень прошу - помогите, пожалуйста.
Возможно, чего-то наколбасила с формой записи, но вроде все ок.

Очень буду благодарна.

спасибо.

[renuar911]

Асимптоты - это просто. Главное найти предел y/x.  Вообще, лучше всего написано в
http://ru.wikipedia.org/wiki/Асимптота
График Вашей функуции такой:



Еще посмотрите решение Вольфрама Вашей функции. Там корни.
ссылка

[Dlacier]

2) Точки пересечения с осями координат:
Ось Ох: y=(x+1)^3/(x-2)^2 = 0 , х=0, точка (0;0)
Ось Оу: х=0, у=0, точка (0;0)

Это как так?
\( \frac{(x+1)^3}{(x-2)^2}=0 \)
разве \( x=0? \)
И опять же при
\( x=0,\,\,\,\, y=\frac{(0+1)^3}{(0-2)^2}=? \)

3) Функция общего вида, т.к. y (-х)=(-x+1)^3/(-x-2)^2=у(х) (не равно)

Раз уж начали нужно добавить \( y(-x)=\frac{(-x+1)^3}{(-x-2)^2}\ne -y(x) \)

4) Экстремумы и монотонность.
Производная:
y'=((x+1)^3/(x-2)^2)'= 3*(1+x)^2/(x-2)^2 - 2*(1+x)^3/(x-2)^3

Как найти критические точки?
Убывание-возрастание - "нарисую".

Пишите формулы в Техе, это неудобно читать. Упростите полученное выражение, затем приравняйте его к нулю и, решив полученное уравнение, найдете точки подозрительные на экстремум, а затем и интервалы монотонности.

5) Выпуклость и точки перегиба
Вторая производная, по-моему, будет такая:

y'=(3*(1+x)^2/(x-2)^2 - 2*(1+x)^3/(x-2)^3)'= 3*((2*(x+1)/(x-2)^2)-2*(x+1)^2/(x-2)^3))-2*((3*(x+1)^2/(x-2)^3)- 3*(x+1)^3/(x-2)^4))
дальше опять критические точки - ? как?

Это уж вообще трудно разбираемо, опять же упрощайте и приравнивайте к нулю, найдете точки перегиба (не критические!). Здесь же можно направление выпуклости узнать.

6)Наклонные асимптоты вида y=kx+b   это тоже не очень понятно.

Если существуют конечные пределы
\( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x}=k \)

\( \lim_{x \to \pm \infty}(y(x)-kx)=b \)

\( y=kx+b \) - наклонная асимптота.

[renuar911]

Если существуют конечные пределы
\( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x}=k \)
\( \lim_{x \to \pm \infty}(y(x)-kx)=k \)
\( y=kx+b \) - наклонная асимптота.

Здесь опечатка. Надо

\( \lim_{x \to \pm \infty}(y(x)-kx)=b \)

[Dlacier]

Если существуют конечные пределы
\( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x}=k \)
\( \lim_{x \to \pm \infty}(y(x)-kx)=k \)
\( y=kx+b \) - наклонная асимптота.

Здесь опечатка. Надо

\( \lim_{x \to \pm \infty}(y(x)-kx)=b \)

Исправила.)