Тригонометрическая система

[Matisss]

Натолкните на мысль. Можно 2 уравнения в кв возвести? Вот первое точно можно, а второе...? После возведения можно заменить синусы на косинусы, используя основное тригонометрическое тождество.

[Dlacier]

Пробовали чертеж делать?

[Alexdemath]

Вроде бы

Так как \( \cos{x}=\sin{y} \), то

\( \sin{x}=\sqrt{1-\cos^2x}=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{\cos^2y}=|\cos{y}|. \)

Таким образом, следствием исходной системы является такая смешанная система с одним неизвестным \( y \)

\( \begin{cases}|\cos{y}|=\sin{2y},\\0\leqslant{y}\leqslant\pi.\end{cases} \)

Решив её, должен получить два корня \( y_1=\frac{\pi}{6},~y_2=\frac{\pi}{2} \)

Тогда \( x_1=\frac{\pi}{3},~x_2=0. \)


\( {\left\{\!\begin{gathered}|\cos{y}|=\sin2y,\hfill\\0\leqslant{y}\leqslant\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\!\begin{gathered}\left\{\!\begin{gathered}\cos{y}=\sin2y,\hfill\\\cos{y}\geqslant0,\hfill\\0\leqslant{y}\leqslant\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\hfill\\\left\{\!\begin{gathered}\cos{y}=-\sin2y,\hfill\\\cos{y}<0,\hfill\\0\leqslant{y}\leqslant\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\!\begin{gathered}\left\{\!\begin{gathered}(1-2\sin{y})\cos{y}=0,\hfill\\0\leqslant{y}\leqslant\frac{\pi}{2};\hfill\\\end{gathered}\right.\hfill\\\left\{\!\begin{gathered}(1+2\sin{y})\cos{y}=0,\hfill\\\frac{\pi}{2}<y\leqslant\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\!\begin{gathered}y_1=\frac{\pi}{6},\hfill\\y_2=\frac{\pi}{2}.\hfill\\\end{gathered}\right.} \)

То есть раскрыли модуль по определению, и решением явилась только первая система совокупности.

[Alexdemath]

Так как \( \cos{x}=\sin{y} \), то

\( \sin{x}=\sqrt{1-\cos^2x}=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{\cos^2y}=|\cos{y}|. \)

Здесь для точности надо ещё указать, что \( 0\leqslant{x}\leqslant\pi \), то есть

Так как \( 0\leqslant{x}\leqslant\pi \) и \( \cos{x}=\sin{y} \), то ...

[Matisss]

я решил, спасибо!

[Alexdemath]

я решил, спасибо!

В смысле решили?
Так как я предложил или другим методом?