Интересная задача из Сканави

[Semen_K]

Вы извините, но тут попалась опять интересная задача из Сканави. Публикую условие, а там посмотрим.
Дана пирамида. Противоположные непересекающиеся ребра попарно  равны и равны соответственно А, В,С. Найти объем пирамиды.))
Решения с использованием теоремы косинусов для плоских и двугранных углов и т.п. я уже пробовал, но все преобразования получаюся очень громоздкими и "безобразными". Наверняка есть более простой способ. Вот поэтому то эта задача и вызвала интерес. А наверное действительно нужна отдельное место для обсуждения интересных задач, чтобы не забивать эту тему))

[SmartStudent]

Из условия следует, что у пирамиды все грани суть треугольники со сторонами A, B, C.

А дальше просто используем формулу

Пусть  P,Q  площади двух граней тетраэдра,  a -  длина общего ребра,  альфа -  величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле

V = (2/3) P * Q * sin(альфа)/ 3a

Все данные известны.
Кто хочет может доказать формулу. Доказывается она довольно несложно с использованием теоремы о 3х перпендикулярах.

[SmartStudent]

Извиняюсь, одна тройка в знаменателе лишняя))

[Semen_K]

Ничего - тройку мы простим. А как определить угол между ними т.е. между плоскостями?

[Semen_K]

И еще вопрос - эта формула сообщается в рамках школьной программы. А то я как то решил задачу с использованием формулы Гульдена (или Гюльдена) а мне забраковали т.к. в рамках школьной программы ее не дают. Ведь у меня клиент требовательный)) Только использовать информацию, которую дают в школьной программе.))

[SmartStudent]

Ну у нас в школе эта формула выводилась, возможно даже на доп. занятиях))
Хотя, её нет в стандартной школьной программе)