3 очень сложных задач по геометрии треугольника!

[Paralon]

1)Периметр треугольника АБС равен 18, его углы А и Б связаны соотношением: 2(сosА + cosБ) = 3+2cos(А+Б).
Найти площадь треугольника, стороны которого равны биссектрисам треугольника АБС.
2)Площадь треугольника равна 50, сумма квадратов двух сторон треугольника равна 200. Найти периметр треугольника.
3)В данном треугольнике угол между двумя медианами равен наименьшему положительному корню уравнения: 2cosxcos((16x+1620)/6)=sin(8x/3), а длины медиан равны а и б соответственно. Найти радиус круга, площадь которого равна площади данного треугольника.

[Asix]

Что Вы делали и что не получается?
Какие есть свои мысли?? =))

[Paralon]

Конечно делал! Но по 1 и 3 задаче никаких мыслей! Можете хотя бы намекнуть с чего начать??? Я с подобными задачами сталкиваюсь впервые!

[Semen_K]

По №3: Пытаюсь найти корень уравнения, пока не очень( В остальном эта зхажача трудностей не представляет. После нахождения угла площадь треугольника  и радиус окружност определяются элементароно.

[Paralon]

1-ая задача:
A + B = 180° – C,
cos (A + B) = cos (180 – C) = –cos C.

Данное равенство переписывается так:

cos A + cos B + cos C = ³⁄₂.       (1)

Докажем, что из (1) следует A = B = C = 60°.

Для произвольного треугольника

cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B),       (2)
cos ½(A + B) = cos ½(180° – C) = cos (90° – ½C) = sin ½C.       (3)

Равенство (3) показывает, что cos ½(A + B) — положительная величина, поэтому из (2) следует, что

cos A + cos B ≤ 2 cos ½(A + B) = 2 sin ½C.

Следовательно,

cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin ½C + cos C = 2 sin ½C + 1 – 2 sin² ½C =
= –2(sin ½C – ½)² + ³⁄₂.

Значит, для любого треугольника

cos A + cos B + cos C ≤ ³⁄₂,

причём равенство достигается при sin ½C = ½, cos ½(A – B) = 1, т. е. при A = B = C = 60°.

Итак, треугольник ABC правильный. Сторона равна 18/3 = 6. Биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. Площадь (правильного) треугольника из них равна

¼√3 (3√3)² = ²⁷⁄₄√3.