Помогите привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду

[KsuKsu]

Пользуясь теорией, после первой замены получила такое уравнение: 36y²+36z²+72yz-5x-15y-4z+11=0
Из этого теперь нужно выделить полный квадрат, но у меня получается только это: 9(2y+2z)²-5x-15y-4z+11=0
Должен получиться параболический цилиндр.
Буду очень благодарна, если вы поможете мне разобраться)

Изначальное уравнение: 4x²+y²+9z²+4xy-12xz-6yz+6x-2y-6z+11=0

[tig81]

Пользуясь теорией, после первой замены получила такое уравнение: 36y²+36z²+72yz-5x-15y-4z+11=0

А что за замена и какое уравнение задано изначально?

Из этого теперь нужно выделить полный квадрат, но у меня получается только это: 9(2y+2z)²-5x-15y-4z+11=0
Должен получиться параболический цилиндр.

Начните с того, что соберите все слагаемые, содержащие переменную у

[mad_math]

Теперь вам нужно сделать второй поворот системы, чтобы избавиться от произведения \( yz \), а потом уже выделять полные квадраты, если потребуется.

[KsuKsu]

Теперь вам нужно сделать второй поворот системы, чтобы избавиться от произведения \( yz \), а потом уже выделять полные квадраты, если потребуется.

Замену или что? У меня что-то не получается.

[mad_math]

Какую замену вы делали и как нашли уравнения перехода?

[mad_math]

У меня после "первой подстановки" получилось \( 14y'^2-2\sqrt{14}y'-2\sqrt{5}x'+11=0 \)

[KsuKsu]

Возможно я что-то не так делаю, вроде по примеру, не знаю

[mad_math]

Да. Вы что-то не так делаете. При двукратном нулевом корне характеристического уравнения нельзя находить соответствующие собственные значения и векторы через систему.

[KsuKsu]

А как тогда?

[mad_math]

Eсли имеется двойной нулевой корень \( \lambda_1=\lambda_3=0 \), то направление \( l_2 \), соответствующее простому корню \( \lambda_2 \), найти как ненулевое решение системы \( (A-\lambda_2\cdot E)\cdot l_2=o \). Вычислить проекцию \( a_{\text{pr}}= a-\frac{a^T\cdot l_2}{|l_2|^2}\cdot l_2 \). Если \( a_{\text{pr}}=o \), то направление \( l_1 \) найти как ненулевое решение системы \( A\cdot l_1=o \). Если \( a_{\text{pr}}\ne o \), то направление \( l_1=-\tau_1\cdot a_{\text{pr}} \). Направление \( l_3 \) найти, используя векторное произведение: \( \vec{l}_3=[\,\vec{l}_1,\vec{l}_2\,] \).

Нормируя полученные векторы \( l_1,\,l_2,\,l_3 \), определить координатные \( s_1=\frac{1}{|l_1|}\cdot l_1, s_2=\frac{1}{|l_2|}\cdot l_2, s_3=\frac{1}{|l_3|}\cdot l_3 \) столбцы векторов \( \vec{s}_1,\,\vec{s}_2,\,\vec{s}_3 \) канонического базиса.

[KsuKsu]

У меня после "первой подстановки" получилось \( 14y'^2-2\sqrt{14}y'-2\sqrt{5}x'+11=0 \)

а как у вас так получилось?

[mad_math]

Сначала нашла по написанному выше алгоритму систему ортогональных векторов, затем составила уравнения перехода к новой системе с найденными координатами векторов, потом подставила уравнения перехода в уравнение поверхности и аккуратно преобразовала.
Вы координаты векторов нашли неверно. Они у вас даже не ортогональные.

[KsuKsu]

Попытка не пытка..
А у вас в итоге не такое уравнение получилось?
y''²=(2√5/√14)x''

[mad_math]

Ну уж выделить полные квадраты из того, что я получила после поворота, дело нехитрое. Вы сначала первоначальное уравнение к виду \( 14y'^2-2\sqrt{14}y'-2\sqrt{5}x'+11=0 \) приведите.
И там скорее \( p=-\frac{\sqrt{5}}{14} \) иначе получается ещё один поворот, а не только перенос.

[KsuKsu]

Извините, но я уже отчаялась, у меня не получается вашим методом такое уравнение получить.