Вывод дифференциального уравнения

[Aiga]

Добрый день! Столкнулась со следующей проблемой: нужно зная уравнение для гипергеометрической функции записать уравнение для функции Лежандра второго рода. Рассматриваю уравнение:
\( z(z-1)\frac{d^2F(z)}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dF(z)}{dz}-abF(z)=0 \)
Нужно вместо функции F подставить \( F(\frac{2}{1-z})=C A(z) Q(z) \) чтоб получить диф.уравнение, которому удовлетворяет Q(z). Тут A(z) - известная функция типа \( \frac{(z-1)^a}{(z+1)^b} \), С - константа.
Я сначала подставляю \( z \rightarrow \frac{2}{1-z} \). При этом получаю \( \frac{dF(\frac{2}{1-z})}{d(\frac{2}{1-z})} \), а мне нужно \( \frac{dF(\frac{2}{1-z})}{dz} \), поэтому записываю \( d(\frac{2}{1-z})=\frac{2}{(1-z)^2}dz \). Не уверена в этой подстановке, хотя она и кажется логичной...
Проблема в том, что после таких действий не получается диф.уравнение Лежандра, которому на самом деле должна удовлетворять эта функция.
Подскажите что я делаю не так и как правильно добиться желаемого результата. Очень нужно!

P.s. Делала аналогичные действия для функции Лежандра первого рода (\( F(\frac{1-z}{2})=C A(z) P(z) \)), тогда \( d(\frac{1-z}{2})=-\frac{1}{2}dz \), тогда получила необходимый результат.

[Aiga]

Все, разобралась. Неправильно счиатала вторую производную, нужно:
\(  \frac{d^2F(\frac{2}{1-z})}{d(\frac{2}{1-z})^2}=\frac{d}{d(\frac{2}{1-z})}(\frac{dF(\frac{2}{1-z})}{d(\frac{2}{1-z})})=
\frac{(1-z)^2}{2}\frac{d}{dz}(\frac{(1-z)^2}{2}\frac{dF(\frac{2}{1-z})}{dz})=-\frac{(1-z)^3}{2}\frac{dF}{dz}+\frac{(1-z)^4}{4}\frac{d^2F}{dz^2} \)
а я записывала
\(  \frac{d^2F(\frac{2}{1-z})}{d(\frac{2}{1-z})^2}=\frac{dF(\frac{2}{1-z})}{d(\frac{2}{1-z})}\frac{dF(\frac{2}{1-z})}{d(\frac{2}{1-z})}=\frac{(1-z)^4}{4}\frac{d^2F}{dz^2} \)