Составить уравнения сторон треугольника ABC

[Romashka619]

Составить уравнения сторон треугольника ABC, зная две его вершины A(3;4), B(1;1) и точку пересечения медиан M(1;2).

Плизззз помогите.

[tig81]

Что делали? Что не получается?

[Romashka619]

Я вообще не знаю как это делать((((

[tig81]

Я вообще не знаю как это делать((((

а что делали для того, чтобы разобраться? Каике примеры смотрели?
для начала найдите уравнение стороны АВ как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

[Dimka1]

и чертеж начертите, и всё обозначьте.

[Semen_K]

1. Координаты точки пересечения медиан, это среднее арифметическое координат вершин. Зная координаты двух вершин и точки пересечения медиан, находим координаты третьей вершины.
2. Зная координаты вершин, находим уравнения сторон, используя формулу уравнения прямой по координатам двух точек.

[Dimka1]

1. Координаты точки пересечения медиан, это среднее арифметическое координат вершин. Зная координаты двух вершин и точки пересечения медиан, находим координаты третьей вершины.

Доказывать заставят!

[tig81]

могут

[Semen_K]

Во первых - это элементарно. Во вторых врядли заставят: я в одном учебнике видел это как готовую формулу.

[tig81]

Во первых - это элементарно. Во вторых вряд ли заставят: я в одном учебнике видел это как готовую формулу.

Что элементарно - да, во-вторых, Вы видели, а не автор вопроса, в-третьих, если преподаватель не давал и знает, что студент точно не мог это увидеть в учебнике (преподаватели-то студентов своих знают), то точно потребует доказательство

[Semen_K]

Ну и пусть доказывает)) Решать через нахождение серидины отрезка, а потом разыскивать координаты , зная соотношения отрезков, получаемых при пересечении медиан долго и неинтересно...))

[tig81]

Ну и пусть доказывает))

ха-ха

[Semen_K]

Вот один из вариантов доказательства:

Пусть координаты таковы:
A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)
AM, BN - медианы треугольника, O - точка пересечения медиан.
Так как M - середина BC, то ее координаты:
M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2)
Находим координаты вектора AM
AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1)
AM = ((x2+x3-2x1)/2;(y2+y3-2y1)/2)
Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,
Тогда
AO = 2/3 * AM
Значит вектора AO
AO = (2/3 * (x2+x3-2x1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2)
AO = ((x2+x3-2x1)/3;(y2+y3-2y1)/3)
Осталось найти координаты точки O(x0;y0)
AO = (x0 - x1; y0 - y1)
Значит
x0 - x1 = (x2 + x3 - 2 * x1)/3 => x0 = (x1 + x2 + x3)/3
y0 - y1 = (y2 + y3 - 2 * y1)/3 => y0 = (y1 + y2 + y3)/3

[Dimka1]

Приблизительно такой же объем писанины при решении через систему уравнении сторон.

Весомый выигрыш получиться, если утверждение п.1 общеизвестно или его док-во рассматривается в каком либо учебнике, на который можно сослаться, а док-во опустить.