Центр тяжести кардиоиды.

[ёлочка12]

Задание:
Найти центр тяжести плоской пластинки, ограниченной линией \( \rho =1-cos(\varphi ) \) ? с помощью двойного интеграла.

Решение. Я нашла формулы лишь для  декартовой системы координат.
И перевела их в полярные.


\( m=\int \int \mu dx dy =\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{1-cos(\varphi )}\rho d\rho  \)

\( M{x}_{}=\int \int \mu xdx dy =\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{1-cos(\varphi )}\rho \rho cos\varphi d\rho  \)

\( M{y}_{}=\int \int \mu ydx dy =\int_{0}^{2\pi }d\varphi \int_{0}^{1-cos(\varphi )}\rho \rho sin\varphi d\rho  \)


в моем случае \( \mu=1  \)

ну а сами координаты это М/м

ответы: x=-5/6   y=0
Вроде, похоже на правду.
Проверьте, пожалуйста, правильно ли.. И, может, есть более рациональное решение?

[tig81]

формулы правильные

[ёлочка12]

 :)спасибо))

[tig81]