Проверьте тест на правильность

[berkut_174]

Здравствуйте!
Помогите с тестом по алгебре.
Правильные ответы (точнее, те которые подозреваю, что правильные ) буду помечать звездочкой, если не правильно поправьте меня. Заранее СПАСИБО!

Пусть a и b – целые числа. Говорят, что b делит a, если
 
*1)   a=bq+r, 0≤r<b
2)   a=br+q, 0≤r<b
3)   a=bq

Если целое число p отлично от 0 и +/-1, и имеет делителями +/-1, +/-p, то оно
 
*1)   простое
2)   составное
3)   ассоциированное
4)   взаимно простое

Целые числа a и b называются взаимно простыми, если
 
1)   a|b, b|a
*2)   их наибольший общий делитель равен 1
3)   они имеют положительный простой делитель, не превосходящий корня из a
 
a=36, b=48. Чему равно d=НОД(a,b)?
 
1)   2*32
2)   2^4*3
3)   2^2*3^3
*4)   2^2*3

Вероятность того, что два натуральных числа, выбранные случайно окажутся взаимно простыми
 
1)   <30%
*2)   >60%
3)   <60%

Если m делит b-a, то числа a и b называют:
 
*1)   сравнимыми по модулю m
2)   взаимно обратными по  модулю m
3)   ассоциированными

Объединение всех классов вычетов по модулю m
 
*1)   называется системой наименьших вычетов по модулю m
2)   называется полной системой вычетов по модулю m
3)   совпадает с множеством целых чисел

Любые два класса вычетов по модулю m пересекаются?
 
1)   да
*2)   нет

Какой остаток получится для суммы сравнений 6=12(mod 3) и 5=8(mod 3)?
 
1)   0
2)   1
*3)   2

Если ab=1(mod m), то числа a и b называются
 
1)   простыми
*2)   взаимно-простыми
3)   обратными
4)   ассоциированными
 
Данный метод заключается в осуществлении нескольких малых вычислений по модулям взаимно-простых чисел и получении необходимого результата при помощи теоремы об остатках. Это -
  
1)   алгоритм Евклида
2)   решето Эратосфена
*3)   модулярное исчисление

Из предложенных теорем выбрать теорему Евклида:
 
1)   Множество положительных простых чисел бесконечно
2)   Всякое целое положительное число представимо в виде произведения положительных простых чисел
*3)   Положительное составное число а имеет по крайней мере один положительный делитель
 
Если общий делитель двух целых чисел равен +/-1, такие числа называют:
 
1)   простыми
*2)   взаимно-простыми
3)   составными
4)   взаимно-обратными

Для соотношения 180*4+(-77)*7=1 найти обратный элемент к  7 по модулю 180?
 
1)   4
2)   7
*3)   103
4)   180

Чему равна функция Эйлера фи(n), если n=10?
 
*1)   4
2)   6
3)   8

Найти обратное к 5 по модулю 6.
 
1)   3
2)   4
*3)   5
4)   6

[tig81]

Пусть a и b – целые числа. Говорят, что b делит a, если
 
*1)   a=bq+r, 0≤r<b
2)   a=br+q, 0≤r<b
3)   a=bq

Почему так? "Делит" подразумевается с остатком или нет?

Если целое число p отлично от 0 и +/-1, и имеет делителями +/-1, +/-p, то оно
*1)   простое
2)   составное
3)   ассоциированное
4)   взаимно простое

Как вам давали определение простого числа?
Простое число - это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Целые числа a и b называются взаимно простыми, если
1)   a|b, b|a
*2)   их наибольший общий делитель равен 1
3)   они имеют положительный простой делитель, не превосходящий корня из a

верно

a=36, b=48. Чему равно d=НОД(a,b)?
 1)   2*32
2)   2^4*3
3)   2^2*3^3
*4)   2^2*3

да

Вероятность того, что два натуральных числа, выбранные случайно окажутся взаимно простыми
 1)   <30%
*2)   >60%
3)   <60%

как находили?

Если m делит b-a, то числа a и b называют:
 *1)   сравнимыми по модулю m
2)   взаимно обратными по  модулю m
3)   ассоциированными

да

Объединение всех классов вычетов по модулю m
 *1)   называется системой наименьших вычетов по модулю m
2)   называется полной системой вычетов по модулю m
3)   совпадает с множеством целых чисел

2)

Любые два класса вычетов по модулю m пересекаются?
 1)   да
*2)   нет

объясните

Какой остаток получится для суммы сравнений 6=12(mod 3) и 5=8(mod 3)?
1)   0
2)   1
*3)   2

тут как находили?

Если ab=1(mod m), то числа a и b называются
 1)   простыми
*2)   взаимно-простыми
3)   обратными
4)   ассоциированными

нет, 3)

Данный метод заключается в осуществлении нескольких малых вычислений по модулям взаимно-простых чисел и получении необходимого результата при помощи теоремы об остатках. Это -
 
1)   алгоритм Евклида
2)   решето Эратосфена
*3)   модулярное исчисление

да

Из предложенных теорем выбрать теорему Евклида:
 
1)   Множество положительных простых чисел бесконечно
2)   Всякое целое положительное число представимо в виде произведения положительных простых чисел
*3)   Положительное составное число а имеет по крайней мере один положительный делительтеорему Евклида
нет

[berkut_174]

Пусть a и b – целые числа. Говорят, что b делит a, если
 
1)   a=bq+r, 0≤r<b
2)   a=br+q, 0≤r<b
*3)   a=bq
Почему так? "Делит" подразумевается с остатком или нет?

Наверно нацело. Раз говорится явно, что делит! Тогда все ж 3).

Если целое число p отлично от 0 и +/-1, и имеет делителями +/-1, +/-p, то оно
*1)   простое
2)   составное
3)   ассоциированное
4)   взаимно простое
Как вам давали определение простого числа?
Простое число - это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Никак Я только знаю, что простое это когда делители 1 и само число, т.е. не более двух. Стало быть наверно первое правильно, потому как остальные явно не из этой "оперы".

Вероятность того, что два натуральных числа, выбранные случайно окажутся взаимно простыми
 1)   <30%
*2)   >60%
3)   <60%
как находили?

6/пи^2 это приблизительно равно 0,608... Вот из этого полагаю, что так правильно.

Объединение всех классов вычетов по модулю m
 *1)   называется системой наименьших вычетов по модулю m
2)   называется полной системой вычетов по модулю m
3)   совпадает с множеством целых чисел
2)

Поясните плиз, я почему-то потом пришел к выводу что правильно 3) !

Любые два класса вычетов по модулю m пересекаются?
 1)   да
*2)   нет
объясните

Знаю только такую теорему
Теорема. Любые два класса вычетов по модулю либо совпадают, либо не пересекаются. Так что ответ - нет.

Какой остаток получится для суммы сравнений 6=12(mod 3) и 5=8(mod 3)?
1)   0
2)   1
*3)   2
тут как находили?

6+5=12+8(mod3) при делении 11/3 остаток 2 и при делении 20/3 остаток 2.

Если ab=1(mod m), то числа a и b называются
 1)   простыми
2)   взаимно-простыми
*3)   обратными
4)   ассоциированными
нет, 3)

Да сам потом заметил что неправильно отметил.

Из предложенных теорем выбрать теорему Евклида:
 
*1)   Множество положительных простых чисел бесконечно
2)   Всякое целое положительное число представимо в виде произведения положительных простых чисел
3)   Положительное составное число а имеет по крайней мере один положительный делительтеорему Евклида
нет

Да тоже потом сам исправился. Правильно 1).

СПАСИБО!

[tig81]

1)   a=bq+r, 0≤r<b
2)   a=br+q, 0≤r<b
*3)   a=bq
Наверно нацело. Раз говорится явно, что делит! Тогда все ж 3).

да

Если целое число p отлично от 0 и +/-1, и имеет делителями +/-1, +/-p, то оно
*1)   простое
2)   составное
3)   ассоциированное
4)   взаимно простое
Никак Я только знаю, что простое это когда делители 1 и само число, т.е. не более двух. Стало быть наверно первое правильно, потому как остальные явно не из этой "оперы".

да

Поясните плиз,

читайте определения

Любые два класса вычетов по модулю m пересекаются?
Теорема. Любые два класса вычетов по модулю либо совпадают, либо не пересекаются. Так что ответ - нет.

ясно

Какой остаток получится для суммы сравнений 6=12(mod 3) и 5=8(mod 3)?
6+5=12+8(mod3) при делении 11/3 остаток 2 и при делении 20/3 остаток 2.

а, точно

Если ab=1(mod m), то числа a и b называются
Да сам потом заметил что неправильно отметил.

Из предложенных теорем выбрать теорему Евклида:
Да тоже потом сам исправился. Правильно 1).

да

[berkut_174]

Для соотношения 180*4+(-77)*7=1 найти обратный элемент к  7 по модулю 180?
 
*1)   4
2)   7
3)   103
4)   180

Чему равна функция Эйлера фи(n), если n=10?
 
*1)   4
2)   6
3)   8

Найти обратное к 5 по модулю 6.
 
1)   3
2)   4
*3)   5
4)   6

А что по-поводу этих трех, кто что может сказать?

1 - не знаю почему я так сделал, но все ж напишу, если что сильно не ругайте что бред всякий пишу
     180*4=1(mod180)
     (-77)*7=1(mod180)
     184=1(mod180)
     => ответ 4
2 - фи(10)=фи(2*5)-числа простые=>фи(2)*фи(5), а дальше (2-1)*(5-1)=4
3 - "пальцем в небо"

Поясните плиз,

читайте определения

В том то и дело что вычитал что подходит 3) вариант. Чуть позже если что приложу текст этого утверждения.

[tig81]

А что по-поводу этих трех, кто что может сказать?

не увидела чего-то

Для соотношения 180*4+(-77)*7=1 найти обратный элемент к  7 по модулю 180?
*1)   4
2)   7
3)   103
4)   180

напишите, как пришли к такому ответу

Чему равна функция Эйлера фи(n), если n=10?
 *1)   4
2)   6
3)   8

да

Найти обратное к 5 по модулю 6.
 1)   3
2)   4
*3)   5
4)   6

да

1 - не знаю почему я так сделал, но все ж напишу, если что сильно не ругайте что бред всякий пишу
     180*4=1(mod180)
     (-77)*7=1(mod180)
     184=1(mod180)
     => ответ 4

не поняла.

3 - "пальцем в небо"

Какие числа называются обратными? У вас даже вопрос подобный в тестах был, посмотрите выше

[berkut_174]

1 - не знаю почему я так сделал, но все ж напишу, если что сильно не ругайте что бред всякий пишу
     180*4=1(mod180)
     (-77)*7=1(mod180)
     184=1(mod180)
     => ответ 4
не поняла.

Вот я тоже не могу понять как тут нужно изловчиться... Ведь легко же, но не могу...  

3 - "пальцем в небо"
Какие числа называются обратными? У вас даже вопрос подобный в тестах был, посмотрите выше

Если ab=1(mod m). И что мне это дает... m=6, а а=5... так что ли? И что дальше не пойму опять...

[berkut_174]

Найти обратное к 5 по модулю 6.
 1)   3
2)   4
*3)   5
4)   6

До меня дошло
Получается можно методом подстановки сделать в данном случае. По другому пока не понял как можно сделать.
Подставиим 5: 5*5=1(mod6) => 25=1(mod6)
Вроде правильно.
А тогда вопрос: найти обратное к 4 по модулю 3. Мой ответ 4. Правильно?

Для соотношения 180*4+(-77)*7=1 найти обратный элемент к  7 по модулю 180?
*1)   4
2)   7
3)   103
4)   180

Это пока думаю, как можно осилить...

[tig81]

Найти обратное к 5 по модулю 6.
 1)   3
2)   4
*3)   5
4)   6

До меня дошло
Получается можно методом подстановки сделать в данном случае. По другому пока не понял как можно сделать.
Подставиим 5: 5*5=1(mod6) => 25=1(mod6)

угу

Вроде правильно.
А тогда вопрос: найти обратное к 4 по модулю 3. Мой ответ 4. Правильно?

проверка: 4*4=16=16-5*3=1(mod 3)

Для соотношения 180*4+(-77)*7=1 найти обратный элемент к  7 по модулю 180?
*1)   4
2)   7
3)   103
4)   180

Это пока думаю, как можно осилить...[/quote]

[berkut_174]

Вроде правильно.
А тогда вопрос: найти обратное к 4 по модулю 3. Мой ответ 4. Правильно?
проверка: 4*4=16=16-5*3=1(mod 3)

Ну верно же?

Для соотношения 180*4+(-77)*7=1 найти обратный элемент к  7 по модулю 180?
1)   4
2)   7
*3)   103
4)   180

Здесь правильно 3).
Опять же подставил готовые ответы в исходную формулу ab=1(mod m).
Получил: 103*7=1(mod180) => 721=1(mod180)
Вроде верно. Тогда зачем мне дано это уравнение: 180*4+(-77)*7 ? Не понял...

[tig81]

честно говоря, и я не совсем понимаю, что надо делать, поэтому у вас и спрашивала, почему вы так решили.

Так что смотрите в конспекте да и нам расскажите.

Это у вас задано линейное представление НОДа двух чисел: 4 и 7.

[berkut_174]

Видимо это пример на тему: "Китайская теорема о двух остатках"...

[tig81]

очень может быть.

[berkut_174]

Вот что я нашел.

Рассмотрим два простых числа n=31, m=17. Соответствующие им коэффициенты Безу u= -6, v=11, т.е.
-6·31 + 11·17 = 1 # в тесте как раз такое же уравнение
Произведение n на m равно 527. Для данных y и z система:
x=y(mod31)
x=z(mod17)
имеет решение 11·17·y+31·(-6)·z.
Вычисление
х = n·(u·( b - a) mod m) + a, дает единственное целое число из интервала [0, n·m), удовлетворяющее сравнениям
x=a(mod n)
x=b(mod m)
Исходные данные: n = 31, m = 17,  u =-6, y = 24, z = 9. Сначала подсчитаем u(z - y) mod m = -6· (9 – 24) mod 17 = -12, умножаем это на n и прибавляем y. Получаем х = 31·(-12) + 24 = 179, что и является решением.

Только я не пойму откуда взялись y и z ...

[berkut_174]

А вообще, ИМХО вопрос поставлен некорректно, так что дать однозначный ответ достаточно сложно...