Фазовая плоскость. Траектории нелинейных систем.

[DeadChild]

Здравствуйте. По преддипломной работе дали задания, которые еще не умеем решать. Подскажите, пожалуйста, как их делать.
1) Найти и нарисовать траектории системы
\( \dot{x}=x^3-3xy^2 \)
\( \dot{y}=3x^2y-y^3 \)
2) Имеет ли уравнение \( \ddot{x}+x^5=0 \) ненулевые решения, определенные при \( -\infty<t<\infty \) ?
3) Имеются ли у уравнения \( \ddot{x}=4x-4x^3 \) неограниченные решения?

[Белый кролик]

Это вообще про что? Какой раздел математики?

[DeadChild]

Вроде как Дифференциальные уравнения

[renuar911]

Одно из решений я нашел чисто умозрительным путем:

\( x=\pm \frac{1}{\sqrt{C_1-2t}} \, ; \qquad y=0 \)

Проверил - вроде все в норме, поскольку 

\( x'=\pm \frac{1}{\big( \sqrt{C_1-2t}\big)^3}} \)

Может, это тривиальное решение, но посмотрите - вдруг оно нормальное и все ok ?

[renuar911]

1) Тогда  \( x''+x^5 = 0  \) -  это  \( \pm 4\, \left( {\it c1}-2\,t \right) ^{-5/2}=0 \)  и пересечения с осью ox  ни при каком С1 не будет.

2)\( x"-4x+4x^3=0 \)   - это

\( - 16\,{\frac { \left( t-1/2\,{\it c1}+3/4 \right)  \left( t-1/2\,{\it
c1}-1/4 \right) }{ \left( {\it c1}-2\,t \right) ^{5/2}}}=0
 \)

Неограниченное решение будет при С1 -> +бесконечность.

PS. Делаю наспех, поэтому меня проверяйте.

[DeadChild]

Что касается первого задания...
1) Найти и нарисовать траектории системы
\( \dot{x}=x^3-3xy^2 \)
\( \dot{y}=3x^2y-y^3 \)

Вот что предложил сделать преподаватель:
\( \frac{dy}{dx}=\frac{3x^2y-y^3}{x^3-3xy^2} \) - однородное уравнение
В правой части делим всё на \( x^3 \)
\( \frac{dy}{dx}=\frac{3(\frac{y}{x})-(\frac{y}{x})^3}{1-3(\frac{y}{x})} \)
Делаем замену \( t=\frac{y}{x} \) => \( y=x*t \)
\( \frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx} \)
\( t+x\frac{dt}{dx}=\frac{3t-t^3}{1-3t^2} \) - уравнение с разделяющимися переменными
Тут \( t \) перенесла вправо, поделила обе части на \( dt \)
\( \frac{x}{dx}=\frac{\frac{3t-t^3}{1-3t^2}-t}{dt} \)
Теперь это проинтегрировать и посчитать в Maple. Получившийся ответ нарисовать так же в Maple.
Проверьте меня. Я нигде ошибок не допустила?

[tig81]

Последнее уравнение перевернуть, а уж затем решать. Дифференциалы не должны стоять в знаменателе

[tig81]

А что после замены делали?

[DeadChild]

А это переворачивание никак не повлияет на ответ?
Потом еще обратную замену сделать надо будет.

А что после замены делали?

Вы про эту строчку \( \frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx} \) или что-то другое?
Избавились от y, продифференцировав, как я поняла.

[tig81]

А это переворачивание никак не повлияет на ответ?

Это наоборот приведет к ответу. Вы умеете интегрировать, когда дифференциал в знаменателе находится?

Потом еще обратную замену сделать надо будет.

Скорее всего да

Вы про эту строчку \( \frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx} \) или что-то другое?
Избавились от y, продифференцировав, как я поняла.

Да, не поняла, как она у вас получилась.

[DeadChild]

Я вот что-то тоже задумалась как это получилось. Это преподаватель как-то вычислил.
Попыталась представить, как производная произведения.
(x)' t + x(t)' = 1*t + \( x\frac{dt}{dx} \) может как-то так...не знаю..

[DeadChild]

Вот что получилось после интегрирования:
\( lnx+C_1=-ln(t^2+1)+\frac{1}{2}lnt+C_2 \)
Обратная замена:
\( lnx+C_1=-ln((\frac{y}{x})^2+1)+\frac{1}{2}ln \frac{y}{x}+C_2 \)
\( lnx-\frac{1}{2}ln \frac{y}{x}+ln((\frac{y}{x})^2+1)+C_1+C_2=0 \), \( C_1+C_2=C_3 \)
\( lnx-\frac{1}{2}(lny-lnx)+ln((\frac{y}{x})^2+1)+C_3=0 \)
\( lnx+\frac{1}{2}lnx-\frac{1}{2}lny+ln((\frac{y}{x})^2+1)+C_3=0 \)
\( \frac{3}{2}lnx-\frac{1}{2}lny+ln((\frac{y}{x})^2+1)+C_3=0 \)

Вроде упростить больше нельзя. Как нарисовать график для этого уравнения для разных \( C_3 \) в Maple?

А о втором задании преподаватель ничего толком не сказал. Дал лишь учебник "Математические методы классической механики", а как решать не понятно.

Тут вот есть пример. Может как-то с ним связать?
Основное уравнение теории колебаний \( \ddot x=-x \)
В этом случае имеем:
\( T=\frac{\dot x^2}{2} \), \( U=\frac{x^2}{2} \), \( E=\frac{\dot x^2}{2}+\frac{x^2}{2} \)
Множества уровня энергии - концентрические окружности и начало координат. Вектор фазовой скорости в фазовой точке (y,x) имеет компоненты (y,-x). Он перпендикулярен радиусу-вектору и равен ему по величине. Поэтому движение фазовой точки по фазовой плоскости есть равномерное вращение вокруг 0: \( x=r_0 cos(\phi_0-t) \), \( y=r_0 sin(\phi_0-t) \). Итак, каждое множество уровня энергии является фазовой кривой.

[DeadChild]

Со вторым заданием никто не подскажет?

[DeadChild]

А всё оказалось не так уж сложно.
\( \ddot x+x^5=0 \)
Системой с одной степенью свободы называют систему, описываемую одним дифференциальным уравнением
\( \ddot x=f(x) \), \( x \in R \)
В нашем случае \( f(x)=-x^5 \)
Кинетической энергией называется квадратичная форма
\( T=\frac{\dot x^2}{2} \)
Потенциальной энергией называется функция
\( U(x)=-\int_{x_{0}}^x f(\xi)d\xi \)
Полной энергией называется сумма
\( E=T+U \)

Отсюда \( U(x)=-\int_{x_{0}}^x (-x^5)dx=\frac{x^6}{6}|_{x_0}^{x}=\frac{x^6}{6}-\frac{x_{0}^6}{6} \)
\( E=T+U=\frac{\dot x^2}{2}+\frac{x^6}{6}-\frac{x_{0}^6}{6}=const \)
\( y=\dot x \)
\( \frac{1}{2}y^2+\frac{x^6}{6}=C_1 \)

Теперь как сделать график этого уравнения \( \frac{1}{2}y^2+\frac{x^6}{6}=C_1 \) а Maple?

[DeadChild]

Преподаватель спрашивает, возможно ли построить графики для этих задач кроме тех, что были разобраны здесь ссылка
Имеет в виду фазовые кривые. Если возможно, то как сделать это в Maple?