Помогите пожалуйста исследовать пару рядов

[c0deR]

Здравствуйте.
Вот пытался разобраться с рядами, 2 задания не очень как-то получаются... Вроде бы сегодня целый день ходил по инету читал статьи по рядам функциональным и степенным, вроде просматривал конспект - там тоже понятно как что решали, смотрел лекции по инету некоторые - там тоже понятно вроде бы всё было (в большинстве случаев), однако как-то всёравно неуверенно чувствую себя в понимании функциональных (и как их частный случай - степенных) рядов.



Вот первый ряд - функциональный. Я даже не знаю что мне там делать. Справа написал ряд Дирихле, который расходится, но с ним сравнивать-то зачем, если мне нужно найти область сходимости... А как её искать мне - я не знаю....

Второй - я когда в инете примеры искал, то с синусом таким не встречал вроде бы. пытался найти радиус, насколько вы видели, но как-то безуспешно....

Из книжек помимо методичек разных (3 штуки читал, 2 из них нашел в инете) читал ещё книгу Рябушко, там по рядам было странички 3 написано (вроде тоже понятно)...
Как бы мне разбираться во всём этом...

[renuar911]

Первый ряд сходится при \( -1 \le x \le +\infty \)

[c0deR]

Первый ряд сходится при \( -1 \le x \le +\infty \)

Спасибо, а можете, пожалуйста, рассказать почему?

[renuar911]

Могу. Перепишем сумму в виде:

\( \sum \limits _{n=1}^{\infty}(-1)^n (x+n)^{\frac{1}{5}} \)

Радиус сходимости знакопеременного ряда

\( R=\lim \limits_{n \to \infty} \bigg | \frac{a_n}{a_{n+1}} \bigg |=\lim \limits_{n \to \infty} \bigg | \frac{(-1)^n n^{\frac{1}{5}}}{(-1)^{n+1}(n+1)^{\frac{1}{5}}} \bigg |=1 \)

Следовательно:

\( -1 \le x+n \le 1 \)

\( -1 \le x < +\infty \)

[c0deR]

Благодарю.

Радиус сходимости знакопеременного ряда

Я думал, что радиус можно вычислять лишь для степенных рядов, выходит его даже с такими использовать можно?

Но ведь данный ряд мне необходимо по условию рассматривать как функциональный, а не просто знакопеременный.
А почему область сходимости будет от -1 (включительно) до +бесконечности?
Если мы подставим вместо х значение -1, то тогда мы получим знакопеременный расходящийся ряд.

[renuar911]

При x=-1  ряд сходится. Проверим это в maple:

sum((-1)^n*(-1+n)^(1/5), n = 1 .. infinity); evalf(%);

В итоге получаем число 0.4536558820

Если же чуточку уменьшим икс, например, так:

sum((-1)^n*(-1.01+n)^(1/5), n = 1 .. infinity); evalf(%);

То получаем комплексное число \( 0.1302542538-0.2340015237 \cdot  i \)

Берем достаточно большое число, например, х=1000:

sum((-1)^n*(1000+n)^(1/5), n = 1 .. infinity); evalf(%);

В результате:  -1.990734906

Так что все соответствует решению.

Хотя с другой стороны ВольфрамАльфа при  х=-1 сумму вычислить не может. Тут либо Вы правы, либо Maple глючит.

Maple c легкостью строит график этой суммы в зависимости от х:

y := sum((-1)^n*(x+n)^(1/5), n = 1 .. infinity); plot(y, x = -10 .. 20, S = -1 .. .2, thickness = 3);



Ну уж тут-то вранья быть не может, я думаю.

Вот как график ведет себя вблизи к x=-1

y := sum((-1)^n*(x+n)^(1/5), n = 1 .. infinity); plot(y, x = -1 .. -.9, thickness = 3);



Методом подбора установил, что сумма ряда равна нулю при x=-0.98023181832

Забавная математика!

[c0deR]

Спасибо за столь развернутый ответ насчёт того, какие результаты дает Maple.

Ну уж тут-то вранья быть не может, я думаю.

Да я же не говорю, что вы врете) Я просто не могу понять почему он сходится. Программа то считает, но, возможно, она использует какие-либо численные методы для этого, а в моем случае от меня требуется аналитически доказать сходимость\расходимость ряда.

Программные продукты могут аналитически посчитать интегралы Френеля, интеграл Пуассона-Эйлера и т.п., но аналитически то, насколько нам известно, они не берутся, не так ли?)

Вот я кратко попытался описать насчёт х = -1

Просто возможно я где-то там ошибся?

Забавная математика!

И не говорите)

[renuar911]

Мне непонятно вот что. Если я в Maple принимаю n не бесконечность, а конечное большое число, например, 10000 и больше то наблюдается постоянное возрастание суммы. Подозреваю, что моя версия Maple 14 работает не совсем корректно. Я сделал запрос на форум МГУ, но пока что никто не откликнулся. Похоже, что ряд это расходится при любых x. Так что лучше Вы меня не слушайте, а попытайтесь по учебнику четко все проанализировать.  У меня, к сожалению, под рукой ничего нет, как и самого главного  - времени. Извени, если запутал эту тему.

Только что получил ответ от крупного спеца по Maple :



Так что мои опасения оправдались . Впервые, благодаря Вам, столкнулся с таким вот редким явлением. Нельзя, оказывается, слепо верить гигантам электронной математики.

Советую обратиться на этот форум (  ссылка   ). Там непременно качественно помогут.

[c0deR]

Нельзя, оказывается, слепо верить гигантам электронной математики.

Ну не то, чтобы верить\не верить. Цитату человека, которую вы скинули, он писал "к сожалению недоработки создателей".

Понимаете, разработчикам же тоже не просто. Именно поэтому и выходят новые версии, обновления, патчи, т.к. в каждой последующей версии фиксятся ошибки\баги предыдущих, ведь предусмотреть всё сразу и написать совершенный код невозможно.
Собственно я же сам программист)
(ну точнее ещё пока что учусь на него)

В любом случае спасибо за помощь и советы)