Формула конечных приращений

[a111z]

\(
f(x + \Delta x) - f(x) = f'(x + \theta \Delta x)\Delta x
 \)
Мне необходимо узнать,когда \( \theta \) не зависит от \( \Delta x \) (для функции \( f(x) = x^\alpha   \))при фиксированном x и доказать что \( \mathop {\lim }\limits_{} \theta ^{k - 1}  = \frac{1}
{k}
 \) Вот что я делал :раскладывал обе стороны формулы конечных приращений для функции \( f(x) = x^\alpha   \) по формуле Тейлора, получил \( \frac{{f^{(k)} (x)}}
{{k!}}\Delta x^k  + .... = \frac{{f^{(k)} (x)}}
{{(k - 1)!}}(\theta \Delta x)^{k - 1} \Delta x + ....
 \) отсюда \( \frac{1}
{k} + ... = \theta ^{k - 1}  + ...
 \) Что делать дальше не знаю,препод сказал,что  должно получиться дифференциальное уравнение вида \( C = y''x + y' \)