Loading [MathJax]/extensions/Safe.js

Образовательный форум - онлайн помощь в учебе

Помощь в решении задач => Математика => Тема начата: getmax от 23 Марта 2015, 21:18:14

Название: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 23 Марта 2015, 21:18:14
(sin^8x)dx/(cos^8x)

не могу понять как это решить.Два часа мучался ничего толкового не вышло.
Мне нужно подробно.Спасибо заранее.

P.s.Во вложениях прикрепил на всякий случай
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: tig81 от 23 Марта 2015, 22:17:56
(sin^8x)dx/(cos^8x)

не могу понять как это решить.Два часа мучался ничего толкового не вышло.
Мне нужно подробно.Спасибо заранее.

P.s.Во вложениях прикрепил на всякий случай
Замена \( \rm{tg} \)\( {x}=t \)
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 23 Марта 2015, 22:22:35
я пробовал, получается
tgx=t
t^8dx
dx=dt/1+t^2
И ничего не получается
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: tig81 от 23 Марта 2015, 22:24:56
я пробовал, получается
tgx=t
t^8dx
dx=dt/1+t^2
И ничего не получается
непонятна запись, прикрепляйте картинку

И посмотрите примеры
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_9_11.php
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Юрик от 24 Марта 2015, 13:22:51
И ничего не получается
Рекомендую попробовать так.
\( \begin{gathered}  \int {\frac{{{{\sin }^8}x}}{{{{\cos }^8}x}}dx}  = \int {{{\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)}^4}dx}  = \int {\left( {1 - \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\cos }^4}x}} - \frac{4}{{{{\cos }^6}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^8}x}}} \right)dx}  = ... \hfill \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^8}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2}x + 1} \right)}^3}d\left( {tgx} \right)}  = ... \hfill \\ \end{gathered}  \)
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 24 Марта 2015, 14:37:01
И ничего не получается
Рекомендую попробовать так.
\( \begin{gathered}  \int {\frac{{{{\sin }^8}x}}{{{{\cos }^8}x}}dx}  = \int {{{\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)}^4}dx}  = \int {\left( {1 - \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\cos }^4}x}} - \frac{4}{{{{\cos }^6}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^8}x}}} \right)dx}  = ... \hfill \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^8}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2}x + 1} \right)}^3}d\left( {tgx} \right)}  = ... \hfill \\ \end{gathered}  \)

если использовать первый способ.Обьясните как вы получили 1/cos^2x -1 Во втором действии.
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Dimka1 от 24 Марта 2015, 15:20:03
sin8x/cos8x =[tg2x]4

tg2x=1/cos2x-1
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 24 Марта 2015, 17:26:07
интеграл от 4/cos^2x я смогу найти, а как быть с интегралами 6/cos^4x  и далее??
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Юрик от 24 Марта 2015, 17:59:26
Я же Вам дал подсказку (вторая строка)!
Вот ещё одна.
\( \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^6}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2} + 1} \right)}^2}d\left( {tgx} \right)}  = ... \)
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 24 Марта 2015, 18:09:27
Я же Вам дал подсказку (вторая строка)!
Вот ещё одна.
\( \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^6}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2} + 1} \right)}^2}d\left( {tgx} \right)}  = ... \)
я не могу понять, как вы пришли к такому виду? и что делать дальше с этим интегралом?
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Dimka1 от 25 Марта 2015, 10:17:50
1/cos6x =[1/cos2x]3

Используете формулу, которую я Вам писал вверху
tg2x=1/cos2x-1

1/cos2x=tg2x+1 и подставляете в верхнюю формулу

[1/cos2x]3=[tg2x+1]3\=[1+tg2x]*[1+tg2x]2=[1/cos2x]*[1+tg2x]2 дальше под знак интеграла заносите tgx и тогда сомножитель [1/cos2x] уничтожиться
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 25 Марта 2015, 11:43:39
получится (1+tg^2x)^2d(tgx)  ?
дальше то как?
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Юрик от 25 Марта 2015, 12:10:43
\( \int (1+\operatorname{tg}^2x)^2d(\operatorname{tg}x) = \int (1+2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x)d(\operatorname{tg}x) = ... \)

ЗЫ. А вообще-то, я Вам рекомендую вернуться к замене, рекомендованной tig81, решение получится более коротким, и, стало быть более рациональным.
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 25 Марта 2015, 12:28:00
tgx=t
dt=dx/1+t^2

так?

t^8dt/1+t^2
 
что дальше?
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Dimka1 от 25 Марта 2015, 12:43:05
tgx=t

что дальше?

теперь подставляйте сюда

\( \int (1+\operatorname{tg}^2x)^2d(\operatorname{tg}x) = \int (1+2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x)d(\operatorname{tg}x) = ... \)
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Юрик от 25 Марта 2015, 12:47:21
tgx=t
dt=dx/1+t^2

так?

t^8dt/1+t^2
 
что дальше?
Делите \( t^8 \) на \( t^2+1 \)

http://www.cleverstudents.ru/expressions/polynomial_division_with_remainder.html
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 25 Марта 2015, 12:51:28
tgx=t
dt=dx/1+t^2

так?

t^8dt/1+t^2
 
что дальше?
Делите \( t^8 \) на \( t^2+1 \)

http://www.cleverstudents.ru/expressions/polynomial_division_with_remainder.html

получилось t^6-t^4-t^2-1-(1)/(t^2+1)
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Юрик от 25 Марта 2015, 12:54:09
Интегрируйте.

PS. получилось t^6-t^4-t^2-1-(1)/(t^2+1)
 Проверьте, где-то знаки перепутали.
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 25 Марта 2015, 12:58:05
Интегрируйте.

t^7/7-t^5/5-t^3/3-t-arctgt
теперь я заменю t и это будет ответ?
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: Юрик от 25 Марта 2015, 13:07:50
Да. Только не забудьте, что \( \operatorname{arctg} (\operatorname{tg}x) = x \)
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: getmax от 25 Марта 2015, 13:12:53
в предыдущем неверно разделил(вы правы)
ответ выходит
tg^7x/7 - tg^2x/5 + tg^3x/3 -tgx +x + c

так?
Название: Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
Отправлено: tig81 от 25 Марта 2015, 20:17:56
в предыдущем неверно разделил(вы правы)
ответ выходит
tg^7x/7 - tg^2x/5 + tg^3x/3 -tgx +x + c

так?
да, все верно