Loading [MathJax]/extensions/Safe.js

Образовательный форум - онлайн помощь в учебе

Помощь в решении задач => Геометрия => Тема начата: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 21:00:18

Название: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 21:00:18
В четверг зачет, надо решить 6 задач, помогите пожалуйста
1)Плоскость альфа пересекает AB и AC  в точках B1 и C1 ; BC параллельна альфа; AB:B1B=5:3; Ac=15 Найти AC1
Дальше выложу по мере решения
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 21:01:53
Верно ли будет делать вот так:
Треугольники АВС и АВ1С1 подобны, т.к. В1С1 параллельна ВС (иначе плоскость пересечёт ВС, а она ей параллельна). Следовательно, по теореме Фалеса АВ/B1B = AC/C1C=5/3. Отсюда, С1С=3 АС/5 =9.
АС1 = 15-9 =6
Ответ: 6
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 01 Декабря 2012, 22:05:05
Я б такое решение не принял. Хотя решили вы правильно. Вы же в 10 классе? Учите стереометрию, верно?

Треугольники АВС и АВ1С1 подобны,

верно

т.к. В1С1 параллельна ВС (иначе плоскость пересечёт ВС, а она ей параллельна).

Это признаки подобия? :o Вы не доказали мне, что треугольники подобны.

Когда вы докажете, что АВС подобен \( A{B}_{1}{C}_{1}  \), то из свойств подобных треугольников (а одно из свойст гласит, что в подобных треугольниках стороны пропорциональны), сможете составить пропорцию и найти нужную сторону. Ну или по теорема Фалеса, как вы сделали, дело вкуса.

Вывод: ответ верный, но подобие вы не доказали.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 22:14:40
Да, вы верно сказали, я в 10 классе  :)
У меня немного не получается рисунок к этой задаче, не могли бы помочь с рисунком?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 22:23:47
Будет ли верно такое доказательство:
Они подобны, т.к. угол А - общий, ВС||В1С1, т.е. угла АВС=АВС и АСВ=АС1В1, т.е. подобие по 3 углам. Значит и стороны пропорциональны.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 01 Декабря 2012, 22:32:04
Признаки подобия:
1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника. и углы образованные этими углами равны.
3. Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 22:33:36
Получается тут надо пользоваться 3 способом подобия?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 01 Декабря 2012, 22:34:43
Получается тут надо пользоваться 3 способом подобия?
Ха-ха. :D 1-м. Вы немножко передоказали.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 22:36:56
То есть надо написать, что угол B=B1 , C=C1, следовательно данные треугольники подобны? :o
А угол A-общий
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 22:41:49
Не то написал, у нас получаются углы: угол A-общий и угол B=B1.
Верно?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 01 Декабря 2012, 22:42:27
Есть в математике такой принцип что ли:необходимо и достаточно.
Вам необходимо доказать, что 2 угла равны двум другим углам и этого достаточно.
Лучше написать, что А - общий (обязательно)  и В=В1 (или С=С1)
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 01 Декабря 2012, 22:43:05
Не то написал, у нас получаются углы: угол A-общий и угол B=B1.
Верно?

Верно.
Первая задача решена.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 22:44:26
Треугольники АВС и АВ1С1 подобны, т.к. А - общий (обязательно)  и В=В1 Следовательно, по теореме Фалеса АВ/B1B = AC/C1C=5/3. Отсюда, С1С=3 АС/5 =9.
АС1 = 15-9 =6
Ответ: 6

Вот так тогда напишу 1 задачу, а вы говорили, что можно написать еще пропорцию, можно узнать, какая тут будет?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 01 Декабря 2012, 22:59:03
Вместо теоремы Фалеса можно применить свойства подобных треугольников:

\( AB = A{B}_{1}+{B}_{1}B \)
5 частей = х частей + 3 части
\( A{B}_{1} \) = 2 части

Так как треугольники \( ABC\sim A{B}_{1}{C}_{1}  \), следовательно их стороны пропорциональны.

\(  \frac{AB}{A{B}_{1}}=\frac{5}{2}=\frac{AC}{A{C}_{1}}=\frac{BC}{{B1}_{C1}} \)

\(  \frac{AC}{A{C}_{1}}=\frac{5}{2} \)

\( {A{C}_{1}}=\frac{2AC}{5} \)
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 23:19:52
Спасибо! :)
2)Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B.C и середину ребра AD вычислите периметр сечения.

Верно ли будет так:

Все ребра тетраэдра равны поэтому он правильный тетраэдр.
Пусть Е - середина ребра AD. Проведем высоту АК(она будет и медианой) в правильном треугольнике АВС.
Сечение тетраэдра - треугольник ЕСВ.
 
Треугольники АЕС и АЕВ равны за двумя сторонами и углом между ними
(АЕ=АЕ, АС=АВ, угол ЕАС=угол ЕАВ=60 градусов)
З равенства треугольников следует равенство ЕС=ЕВ.
 
Медиана равнобедренного треугольника является его высотой и биссектрисой.
Треугольник ЕСВ равнобедренный (ЕС=ЕВ).
ЕК - высота треугольника ЕСВ.
АК=АВ*корень(3)/2=2*корень(3)/2=корень(3).
 
За теоремой о трех перпендикулярах. Треугольник АЕК прямоугольный с прямым углом АЕК.
по теореме Пифагора
ЕК=корень(AK^2-AE^2)=корень((корень(3))^2-1^2)=корень(2)
ЕС=ЕВ=корень(EK^2+BK^2)=корень(1^2+(корень(2))^2)=корень(3)
Периметр сечения(треугольника ЕСВ) Р=ЕС+ЕВ+ВС=2+корень(3)+корень(3)=
=2+2*корень(3)
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 01 Декабря 2012, 23:31:59
Задача 2 верно решена. Продемонстрировали в решении свою математическую культуру. Очень хорошее решение!
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 01 Декабря 2012, 23:41:34
Спасибо! :)
3)Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, С и М, где М – середина ребра A1D1.

А вот что писать в описанием построения?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 00:27:48
Чёт я завис. :-\
Ну пока можно точно написать про отрезки АС и АМ.
Точки А и С принадлежат плоскости АВСD, следовательно через эти точки можно провести прямую (из аксиомы планеметрии: через 2 точки можно провести прямую и при том только одну) и при том только единственная.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 00:40:30
Ну с АМ анологично, как с АС.
Дальше: про постоении сечения параллелепипеда учитываем, что отрезки секущей плоскости проходящей через противоположные грани параллельны. Это дает нам право провести в плоскости А1В1С1D1 провести отрезок, параллельный АС, получаем отрезок МК.
Далее К соединяем с С (анологично как и с АС)
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 02 Декабря 2012, 00:48:59
Спасибо!
4)ABCDA1B1C1D1 – куб, ребро которого 4 см. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки А, D1 и М, где М – середина ребра ВС. Вычислите периметр сечения.

соединяем А и D1, А и М продолжаеv прямые АМ и DС до их пересечения, получаем точку Н, соединяеv ее с точкой D1, находим пересечение D1Н с ребром СС1, получаем точку К. Соединяем D1, К, М, А. Это и есть сечение.
Далее находим периметр АМКD1.
АД1=4корня из 2
АМ=2 корня из 5.
треугольник АВМ=треугольнику МСН(по 2-м углам и стороне :угАМВ=угНМС как вертикальные, угВАМ=угМНС как накрест лежащие при АН секущей и АВ параллельной ДС, ВМ=МС по условию), отсюда следует что АВ=СН=4, значит СК=2, т.к. это средняя линия треугольник DD1Н и равна половине DD1, т.е. 2.
треугольник D1С1К прямоугоугольный, значит
D1К=2 корня из 5
треугольник МКС прямоугольный, значит
МК=2 корня из 2.
Р=АD1+D1К+КМ+МА=4 корня из 5 + 6 корней из 2

Не уверен в решении...
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 01:15:54

треугольник АВМ=треугольнику МСН(по 2-м углам и стороне :угАМВ=угНМС как вертикальные, угВАМ=угМНС как накрест лежащие при АН секущей и АВ параллельной ДС, ВМ=МС по условию)
Не правильно доказали. Нет такого признака равенства.

Я думаю, как лучше доказать то, что СК =2. И почему МК = \( 2\sqrt{2} \)? Остальные стороны верно найдены.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 02 Декабря 2012, 01:25:39
Тут использовать 2 признак?

Почему mk не равно 2 корня из 2?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 01:32:37
Всего есть 2 признака равенства:
Их 3.


2)Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

То есть вы хотите сказать, что к стороне ВМ и МС прилежат углы АМВ, НМС и ВАМ,МНС? С первыми согласен, со вторыми нет.

МК гипотенуза МСК, МС=2, СК=2
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 02 Декабря 2012, 01:37:58
MK^2=CK^2+MC^2
MK^2=2^2+2^2
MK^2=8
MK=корень из 8
MK=2 корня из 2
Неверно?

И тогда получается 1 равенство(по двум сторонам и углу между ними)?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 01:47:16
MK^2=CK^2+MC^2
MK^2=2^2+2^2
MK^2=8
MK=корень из 8
MK=2 корня из 2

Верно. Ой, сорри, это я затупил.
Равенство треугольников нужно доказывать по второму признаку: по сторонам ВМ=МС и прилежащим к ним углам.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 01:51:17
Я пошел спать. :)
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 02 Декабря 2012, 01:51:34
То есть мне просто писать: треугольник АВМ=треугольнику МСН(т.к. ВМ=МС и прилежащим к ним углы АМВ, НМС)
Правильные ли я углы указал?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 02 Декабря 2012, 01:52:11
Спасибо за помощь! :)
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 02:22:14
Пожалуйста. :D

То есть мне просто писать: треугольник АВМ=треугольнику МСН(т.к. ВМ=МС и прилежащим к ним углы АМВ, НМС)
Правильные ли я углы указал?
Правильно! И еще нужна пара углов!

Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 02 Декабря 2012, 14:22:10
Никак не могу понять какую еще пару указать... :(
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 14:50:51
Никак не могу понять какую еще пару указать... :(

Ну посмотрите внимательно на угол МВА и на угол МСН...
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 02 Декабря 2012, 21:30:04
У меня получается примерно вот такой куб...
Верно ли я проставил буквы?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 02 Декабря 2012, 23:02:13
Никак не могу понять какую еще пару указать... :(

Ну посмотрите внимательно на угол МВА и на угол МСН...

Получается:
ВМ=МС и прилежащим к ним углы АМВ, НМС и МВА, МСН) ?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 02 Декабря 2012, 23:23:39
Получается:
ВМ=МС и прилежащим к ним углы АМВ, НМС и МВА, МСН) ?

Получается.

ВМ=МС и прилежащим к ним углы АМВ = НМС и МВА =МСН.
Углы АМВ = НМС вы доказали.
А МВА =МСН не доказали.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 00:35:12
угол МВА=угол МСН как накрест лежащие при АН секущей и АВ параллельной DС, ВМ=МС по условию
А что тут неправильно?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 16:11:05
5)Параллельные плоскости альфа и бета пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А1 и А2, а сторону АС этого угла соответственно в точках В1 и В2. Найдите АА1, если А1А2= 6см, АВ2:АВ1=3:2.

У меня опять немного кривовато получается...

Мы имеем подобные треугольники АА1В1 и АА2В2. Их соответствующие стороны пропорциональны. Рассмотрим сторону АВ2. Из данного соотношения видно, что сторона АВ2 состоит из трех частей, а АВ1 из двух частей, значит ВВ1 состоит из одной части. Рассмотрим сторону АА2. Сторона АА2 также состоит из трех частей, АА1 из двух, А1А2 из одной. Значит одна часть составляет 6см, тогда АА1=12 см.

Или же решение без слов, а только с буквами :)

Имеем: A1A2=AA2-AA1=3/2AA1-AA1=1/2AA1 => AA1=2*A1A2=12см
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 17:36:20
6)Точка C лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B1 и C1. Найти: BB1, если AC: CB, как 4:3, CC1=8.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости. Прямая АВ, пересекающая эти параллельные прямые, так же лежит с ними в одной плоскости.
Две плоскости пересекаются по прямой. Значит точки А, С1 и В1 лежат на одной прямой.
Получаем треугольник АВВ1, в котором отрезок СС1, параллельный основанию, делит стороны треугольника в отношении 4:3.
Треугольники АВВ1 и АСС1 подобны (по углу и двум сторонам).
=> АС:ВС=СС1:ВВ1
    4:3 = 8:ВВ1
ВВ1:    ВВ1 = (3*8)/4 = 6

И еще вопросик:
Верен ли рисунок?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 18:53:43
угол МВА=угол МСН как накрест лежащие при АН секущей и АВ параллельной DС, ВМ=МС по условию
А что тут неправильно?

Все правильно. Просто изначально же вы брали другие углы и доказывали другие углы.

Итак, задача 4 решена. Но можно еще подумать, как лучше доказать, что СК=2.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 19:01:07
Задача 5 правильно, только

Мы имеем подобные треугольники АА1В1 и АА2В2.

Где доказательство?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 20:04:08
А можно ли ее делать по теореме Фалеса?

То есть:

по теореме Фалеса плоскости альфа и бетта отсекают на сторонах угла ВАС пропорциональные отрезки , т.е.
AA2:AA1=АВ2:АВ1=3:2
тогда
AA2:AA1=3:2
AA2 =3/2*AA1
НО   по условию также AA2-AA1=6
сделаем подстановку
3/2*AA1 -AA1=6
1/2 AA1 = 6
AA1=12
ОТВЕТ  AA1=12
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 20:07:10
Задача 5 правильно, только

Мы имеем подобные треугольники АА1В1 и АА2В2.

Где доказательство?

У меня что-то опять рисунок не получается, не могли бы мне помочь его нарисовать?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 20:11:37
А можно ли ее делать по теореме Фалеса?
То есть:
по теореме Фалеса плоскости альфа и бетта отсекают

В теореме Фалеса ничего про плоскости не говорится.

Рисунок почти такой же как в задаче 1. Только 2 плоскости.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 20:19:42
Задача 6. Чертеж верен. Задача решена не правильно. Не правильно составили пропорцию.

Нужно сравнивать стороны треугольников АВВ1 и АСС1.

Треугольники АВВ1 и АСС1 подобны (по углу и двум сторонам).
=> АС:ВС=СС1:ВВ1
    4:3 = 8:ВВ1
ВВ1:    ВВ1 = (3*8)/4 = 6
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 21:01:22
Задача 6. Чертеж верен. Задача решена не правильно. Не правильно составили пропорцию.

Нужно сравнивать стороны треугольников АВВ1 и АСС1.

Треугольники АВВ1 и АСС1 подобны (по углу и двум сторонам).
=> АС:ВС=СС1:ВВ1
    4:3 = 8:ВВ1
ВВ1:    ВВ1 = (3*8)/4 = 6

А так:
Треугольники АСС1 и АВВ1 подобны по двум углам (угол А - общий, угол АСС1 = углу АВВ1 как соответственный при параллельных прямых ВВ1, СС1 и секущей АВ). Получаем соотношение:
ВВ1 / СС1 = АВ / АС = (3х + 4х) / (4х) = 7/4 => ВВ1 = 7*СС1 / 4; ВВ1 = 14 см
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 21:29:34
А так:
Треугольники АСС1 и АВВ1 подобны по двум углам (угол А - общий, угол АСС1 = углу АВВ1 как соответственный при параллельных прямых ВВ1, СС1 и секущей АВ). Получаем соотношение:
ВВ1 / СС1 = АВ / АС = (3х + 4х) / (4х) = 7/4 => ВВ1 = 7*СС1 / 4; ВВ1 = 14 см

А так правильно.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 21:44:27
А так:
Треугольники АСС1 и АВВ1 подобны по двум углам (угол А - общий, угол АСС1 = углу АВВ1 как соответственный при параллельных прямых ВВ1, СС1 и секущей АВ). Получаем соотношение:
ВВ1 / СС1 = АВ / АС = (3х + 4х) / (4х) = 7/4 => ВВ1 = 7*СС1 / 4; ВВ1 = 14 см

А так правильно.

А доказательство правильное?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 21:47:19
Задача 5 правильно, только

Мы имеем подобные треугольники АА1В1 и АА2В2.

Где доказательство?

А тут мы используем 1 признак подобия треугольников?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 21:50:26
Да, доказательство правильное. (Задача 6)
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 21:55:11
А тут мы используем 1 признак подобия треугольников?

Да.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 21:58:35
А тут мы используем 1 признак подобия треугольников?

Да.

А можно просто написать:
Мы имеем подобные треугольники АА1В1 и АА2В2(по двум сторонам и углу между ними)?
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 22:32:16
А можно просто написать:
Мы имеем подобные треугольники АА1В1 и АА2В2(по двум сторонам и углу между ними)?

Нельзя. Потому что это признак равенства, а не подобия.

Вот в задаче 6 вы прекрасно доказали. ::)

Цитировать
Треугольники АСС1 и АВВ1 подобны по двум углам (угол А - общий, угол АСС1 = углу АВВ1 как соответственный при параллельных прямых ВВ1, СС1 и секущей АВ).

Именно так я люблю, чтоб в скобках приводить свои доказательства. Номер признака можно и не писать, достаточно того, что вы написали в скобках.
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Dimka1 от 03 Декабря 2012, 22:40:41
Кролик, осталось только сказать:-"Дети, урок окончен, запишите задание на дом и принесите к следующему уроку 500р на Ваши Новогодние подарки".  :D
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: tig81 от 03 Декабря 2012, 22:47:30
 :D :D :D :D
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Andrew542 от 03 Декабря 2012, 23:07:22
 :D
Спасибо за помощь в решении всех задач   :D :D :D
Название: Re: Зачет по геометрии
Отправлено: Белый кролик от 03 Декабря 2012, 23:13:33
Пожалуйста. :D Решайте задачки, у вас очень хорошо получается.