Loading [MathJax]/extensions/Safe.js

Образовательный форум - онлайн помощь в учебе

Помощь в решении задач => Математика => Тема начата: kfurios от 05 Мая 2012, 21:37:06

Название: Дифференциальное уравнение
Отправлено: kfurios от 05 Мая 2012, 21:37:06
Здравствуйте. Решаю дифференциальное уравнение y"+6y'+9y=10sinx методом вариации. Но мне кажется,что получаются слишком уж трудоемкие для решения интегралы. Или я ошибаюсь? Натолкните на решение. Заранее спасибо
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: Dimka1 от 05 Мая 2012, 21:40:29
Здравствуйте. Решаю дифференциальное уравнение y"+6y'+9y=10sinx методом вариации. Но мне кажется,что получаются слишком уж трудоемкие для решения интегралы. Или я ошибаюсь? Натолкните на решение. Заранее спасибо

Решайте методом поиска частного решения по известному виду правой части или решайте диф.уравнение методом квадратур.
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: tig81 от 05 Мая 2012, 21:46:20
http://www.reshebnik.ru/solutions/5/12/

и далее
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: kfurios от 06 Мая 2012, 18:18:32
остался всего один вопрос... Нужно ли рассматривать число 10 как многочлен первой степени, т.е. частное решение будет иметь вид: (Ax+b)(Csinx+Dcosx), или же не нужно, т.е. Asinx+Dcosx
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: tig81 от 06 Мая 2012, 18:21:40
Нужно ли рассматривать число 10 как многочлен первой степени
10 - это многочлен нулевой степени, т.е. константа, т.е. частное решение
Asinx+Dcosx
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: kfurios от 06 Мая 2012, 18:23:02
Спасибо большое, не могу перестать восхищаться вашим ресурсом)
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: tig81 от 06 Мая 2012, 18:23:37
 ;)
А к такому ресурсу еще какие консультанты!  :D :D :D
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: kfurios от 06 Мая 2012, 18:29:46
Цены нет таким консультантам) и ещё вопросик, если не сложно... при подборе частного решения рассматривается кратность одного из корней, и этот корень равен степени экспоненты? я правильно понимаю?
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: tig81 от 06 Мая 2012, 18:31:43
если этот корень фигурирует в правой части, но т.к. в правой части есть тригонометрия, то на корни характеристического уравнения надо обращать внимание лишь в том случае, если они комплексные (для заданного примера, если бы они были равны \( \pm i \)), иначе можете про них забыть.
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: kfurios от 06 Мая 2012, 18:34:10
и снова спасибо, всё стало ясно окончательно)
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: tig81 от 06 Мая 2012, 18:34:41
Замечательно!
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: kfurios от 06 Мая 2012, 18:57:12
То есть, исходя из опыта предыдущего примера, кратность в уравнении y''+y'=(8x+1)*cosx будет равна 1, поскольку в характерестическом уравнении нет комплексных решений, но есть 0, который является степенью экспоненты в правой части?
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: tig81 от 06 Мая 2012, 18:58:38
но так как в правой части снова есть тригонометрия, то на кратность корня обращаем внимание, если среди корней характеристического многочлена есть комплексные.
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: kfurios от 06 Мая 2012, 18:59:57
А, то есть кратность нулю будет равна? а если бы в характерестическом были бы комплексные решения, она бы была равна 2?
Название: Re: Дифференциальное уравнение
Отправлено: tig81 от 06 Мая 2012, 19:32:29
Нет, кратность корня характеристического уравнения не зависит от правой части, но просто для этой правой части ее не надо рассматривать, а если бы были комплексные, то надо смотреть конкретно какие.