Образовательный форум - онлайн помощь в учебе

Помощь в решении задач => Математика => Тема начата: desperado777 от 28 Октября 2009, 00:17:18

Название: помогите плиз с уравнением
Отправлено: desperado777 от 28 Октября 2009, 00:17:18

y'' - 2y' - 3y = 3sinx

Название: Re: помогите плиз с уравнением
Отправлено: lu от 28 Октября 2009, 04:51:36

составляем характеристическое уравнение
k²-2k-3=0

решаем и находим k₁  и k₂

решение однородного уравнения
y=C₁e^k₁x+C₂e^k₂x

теперь ищем решение частного неоднородного
в виде
y=a*sin(x)+b*cos(x)
y'=a*cos(x)-b*sin(x)
y"=-a*sin(x)-b*cos(x)
y"-2y'-3y=-a*sin(x)-b*cos(x)-2a*cos(x)+2b*sin(x)-3a*sin(x)-3b*cos(x)=3sin(x)
-a+2b-3a=3     -4a+2b=3   b=3/10
-b-2a-3b=0     -2a-4b=0   a=-3/5
y=-3/5 sin(x) +3/10 cos(x)

общее решение:
y=C₁e^-x+C₂e^3x-3/5 sin(x) +3/10 cos(x)

проверка:
y'=-C₁e^-x+3C₂e^3x-3/5 cos(x) -3/10 sin(x)
y''=C₁e^-x+9C₂e^3x+3/5 sin(x) -3/10 cos(x)
y"-2y'-3y=C₁e^-x+9C₂e^3x+3/5 sin(x) -3/10 cos(x)-2(-C₁e^-x+3C₂e^3x-3/5 cos(x) -3/10 sin(x))-3(C₁e^-x+C₂e^3x-3/5 sin(x) +3/10 cos(x))=3sin(x) ≡ 3 sin(x)