Loading [MathJax]/extensions/Safe.js

Образовательный форум - онлайн помощь в учебе

Помощь в решении задач => Математика => Интересные, красивые задачки => Тема начата: renuar911 от 26 Июня 2011, 12:31:22

Название: Доказать бы!!!...
Отправлено: renuar911 от 26 Июня 2011, 12:31:22
Простая, вроде бы геометрическая задачка: доказать, что площадь треугольника ABC равна площади фигуры ABDEF

(http://s45.radikal.ru/i107/1106/95/f34066197663.jpg)

Никак сходу не соображу... :(
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Белый кролик от 26 Июня 2011, 23:13:05
Единственное,что мне быстро пришло в голову-это перенести фигуру на решетку(это будет типа доп.построения) и пытаться решить по теореме Пика(нахождние площади по узлам решетки).
У меня вопрос.Откуда задача?Какими методами можно решать(только школьными или можно вузовскими)?
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Dimka1 от 26 Июня 2011, 23:26:52
Простая, вроде бы геометрическая задачка: доказать, что площадь треугольника ABC равна площади фигуры ABDEF

(http://s45.radikal.ru/i107/1106/95/f34066197663.jpg)

Никак сходу не соображу... :(

Можно решить влоб.

Написать уравнения прмых и посчитать соответствующие площади через интеграл.
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: renuar911 от 27 Июня 2011, 01:22:11
В лоб каждый D может рассчитать. Вот именно геометрически нужно доказывать! Так же, как теорему Пифагора. Эту схему я обнаружил совершенно случайно, и она оказалась общей. Тут как бы аналогия с разложением вектора.  Вычисление площади для треугольника общего вида намного упрощается, поскольку два составляющих треугольничка (например, ABF  и  BDE) имеют четкие координаты вершин. Во всех иных схемах площадь получается минимум из трех элементов. Чует мое сердце - геометрическое доказательство возможной теоремы должно быть ух каким красивым!
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Semen_K от 27 Июня 2011, 13:06:12
Странно, что задачка для 7 класса вызвала столько рассуждений))
Sabdcf = Sabdef+EF*ED
С другой стороны: Sabc = Sabdcf-0.5*EF*FC-0.5*EF*FC=Sabdef+EF*ED-0.5*EF*FC-0.5*EF*FC=Sabdef   ЧТД.

P.S. Она не просто простая, она элементарня.... Заучились, Господа....
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Hellko от 27 Июня 2011, 14:06:21
Sabc = Sabdcf-0.5*EF*FC-0.5*EF*FC
как вы пришли к этому?
вроде как это нужно найти. а вы берете это как данное.
У вас написано тоже самое что и строкой выше. только площадь перед знаком равно обозвана по другому...
т.о. у вас получается доказательство того что Sabdеf=Sabdef
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Semen_K от 27 Июня 2011, 16:11:08
От площади пятиугольника отнял две площади треугольников и получил площадь искомого треугольника.
По сути задача сводится к доказательству равенства площади прямоугольника EFDC сумме площадей треугольников BDC  и AFC. И если за основу взять пятиугольник ABDCF, то и площадь треугольника АВС и площадь пятиугольника ABDEF будут получены вычитанием из пятиугольника  ABDCF одной и той же площади. А это и является требуемым доказательством....
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: renuar911 от 27 Июня 2011, 17:45:10
Опять повторяю: нужно не расчет по формулам, а чистая геометрия. Как это делали древние греки. То есть показать на графике, что суммы элементов обоих фигур равны. Точно так же, как показывают, что в квадрате гипотенузы точно помещаются квадраты катетов. Дайте такой рисунок  - и моя душенька успокоится.
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Hellko от 27 Июня 2011, 17:53:49
От площади пятиугольника отнял две площади треугольников и получил площадь искомого треугольника.
По сути задача сводится к доказательству равенства площади прямоугольника EFDC сумме площадей треугольников BDC  и AFC. И если за основу взять пятиугольник ABDCF, то и площадь треугольника АВС и площадь пятиугольника ABDEF будут получены вычитанием из пятиугольника  ABDCF одной и той же площади. А это и является требуемым доказательством....
и все таки я не вижу доказательства того, что  площадь прямоугольника EFDC равна сумме площадей треугольников BDC и AFC
:(
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Semen_K от 27 Июня 2011, 20:51:42
Но это же элементарно))
Sfedc = ED*DC
Sbdc  = 0,5*ED*DC
Safc   = 0,5*EF*FC = 0,5*ED*DC
Sbdc+Safc=0,5*ED*DC+0,5*ED*DC=ED*DC=Sfedc
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Dimka1 от 27 Июня 2011, 21:16:08

Sbdc  = 0,5*ED*DC
Safc   = 0,5*EF*FC = 0,5*ED*DC

С чего Вы это взяли?

Sbdc  = 0,5*ED*DC это равенство будет верно, если т B переместить в т.E
т.е.
Sedc  = 0,5*ED*DC, но не Sbdc  = 0,5*ED*DC!
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Semen_K от 27 Июня 2011, 21:16:30
Не нужно никаких формул)) Все понятно и по рисункам:
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Semen_K от 27 Июня 2011, 21:19:41
И действительно, от куда я взял, что площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание ?))))
 А указанные отрезки и есть соответственно высоты и основания)))
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Semen_K от 27 Июня 2011, 21:22:23
А перемещение точки В в точку Е не изменит высоты треугольника, а , следовательно и площади.... Учите мат. часть или откройте учебник геометрии 7 класса))
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Dimka1 от 27 Июня 2011, 21:55:10
А перемещение точки В в точку Е не изменит высоты треугольника, а , следовательно и площади.... Учите мат. часть или откройте учебник геометрии 7 класса))

Да что Вы говорите?!

т.е. по Вашему

Sbdc  = 0,5*ED*DC

получется, что  Sbdc=Sedc

Возьмите конкретные числа ED=5 DC=4 EB=10 и посчитайте площади Sbdc и Sedc и убедитесь, что Sbdc не равно Sedc

Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Dimka1 от 27 Июня 2011, 22:02:02
и все таки я не вижу доказательства

+1

Вижу только манипуляции с чертежем, основанные на перемещении В и А в т.E. При этом площадь АBC ABDEF одновременно становятся равными нулю (т.е. вроде Sabc=Sabdef). При этом BC и АC вырождаются в EC
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Semen_K от 27 Июня 2011, 22:09:04
Именно так и есть, что  Sbdc=Sedc т.к. у этих двух треугольников равные высоты и основания)))
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Semen_K от 27 Июня 2011, 22:15:42
Последний раз для незнающих геометрию: если вершина треугольника перемещается параллельно основанию, то площадь треугольника при этом НЕ МЕНЯЕТСЯ т.к. не меняется ВЫСОТА, а основание остается без изменения. Все, лично я обсуждать эту задачу больше не намерен. Если есть желание побеседовать лично, милости прошу в аську, там и обсудим.))
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: renuar911 от 27 Июня 2011, 23:25:25
Ну когда же вы меня поймете? Все, что писалось тут и рисовалось - я знаю превосходно. Мне нужно следующее: есть чертеж исходного треугольника ABC и встает вопрос: как в его границах располагаются элементы альтернативного решения? Важно, чтобы параметры этих элементов не вычислялись по формулам, а строились исключительно геометрически! То есть задача на раскрой материала, вот и все. Пока что этого я в упор не вижу.
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: Белый кролик от 28 Июня 2011, 00:26:53
Я бы вписал бы эту фигуру в прямоугольник,и рассматривал бы стороны и диагонали.
Название: Re: Доказать бы!!!...
Отправлено: renuar911 от 28 Июня 2011, 04:51:53
Если это путь к получению именно геометрического тождества, то жду с нетерпением результатов.