Помогите найти экстеремумы функции двух переменных

[Vika18]

Найти экстеремумы функции двух переменных.Z=8x^3-y^3-12xy-1.нашла только z'(x)=24x^2-12y.z(y)=-3y^2-12x.а дальше вообще не знаю как.  И частные производные функции нескольких переменных u=y^3/5z-3x.

[tig81]

Найти экстеремумы функции двух переменных.Z=8x^3-y^3-12xy-1.нашла только z'(x)=24x^2-12y.z(y)=-3y^2-12x.а дальше вообще не знаю как.

экстремум функции двух переменных

И частные производные функции нескольких переменных u=y^3/5z-3x.

А тут что не получается? В предыдущем примере-то нашли частные производные.

[Vika18]

С тремя не могу решать.не понимаю никак  решать

[tig81]

С тремя не могу решать.не понимаю никак  решать

точно также, как с двумя: по одной берете, две другие - константы.

[Vika18]

Ненавижу математику. Плиз объясни как? В голову ничего не идет.а уже сегодня сдать нужно

[renuar911]

Производные Вы нашли правильно. Нужно только приравнять их нулю и решить систему

\( 24x^2-12y=0 \)

\( -3y^2-12x=0 \)

Формально решая получим два ответа:

1) x=0 ; y=0

2) x=-1 ; y=2

Экстремум (максимум) будет наблюдаться только во втором случае, то есть точка максимума (-1; 2).

То что это максимум, можно найти так: зафиксируем y=2, то есть вертикальной плоскостью разрежем поверхность и тогда линия разреза будет описываться формулой:

\( z=8x^3-2^3-12 \cdot 2 x - 1 \quad \to  \quad z=8x^3-24x - 9 \)

График такой.



График Вы можете построить при помощи нашей программы:
Построение графиков функций онлайн

Экстремальное значение z будет при x=-1 и  следовательно Z(max) = 7

Решить систему, с которой я начал пост, очень легко. После сокращения коэффициентов из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение.
В итоге получим:

\( x(x^3+1)=0 \)

Отсюда и два решения, один из которых отбрасывается.

[Vika18]

Спасибо большое .а кто знает как второй пример решается?

[renuar911]

Да что Вы такая беспомощная?

\( \frac{du}{dx}=\frac{3y^3}{(5z-3x)^2} \)

\( \frac{du}{dy}=\frac{3y^2}{5z-3x} \)

\( \frac{du}{dz}=-\frac{5y^3}{(5z-3x)^2} \)