Исследование СЛАУ и нахождение общего решения в зависимости от параметра

[david25]

Добрый вечер всем!  столкнулся с проблемой при рассмотрении последнего задания своей контрольной.
Задание: Исследовать СЛАУ и найти общее решение в зависимости от параметра "лямбда":

2*х1-x2+3*x3+4*x4=5
4*x1-2*x2+5*x3+6*x4=7
6*x1-3*x2+7*x3+8*x4=9
lambda*x1-4*x2+9*x3+10*x4=11

Прошу помощи в разъяснение хотя б сперва  что нужно делать что исследовать и как, как находить общее решение в зависимости от данного параметра.

Заранее весьма благодарен за любую помощь!

[tig81]

Вначале надо прочитать теорему Кронекера-Капелли.

[david25]

Ага это та в которой сравниваются ранги матриц основной и расширенной и на основе их делается вывод имеет ли система одно решение  не имеет вообще или  множество решений? то есть нужно сперва узнать ранги матриц,я в правильном направлении копаю?)

[tig81]

ес

[david25]

значит надо узнать ранг матрицы основной и расширенной...в данном примере получается что ранг основной матрицы равен  4 (4 строки, нулевых строк нет) а ранг расширенной матрицы тоже 4 (хотя в ней уже и 5 столбцов).  то есть это подпадает под условие ,что если ранг расширенной матрицы и основной равен между собой да еще и  равны с количеством неизвестных переменных, то тогда система имеет единственное решение, НО! как всегда не все так просто)) Возникают наводящие вопросы:
1) Нужно ли делать элементарные преобразования над матрицами, прежде чем  узнавать их ранг?(вдруг где то всплывет нулевая строка). Если надо то как же это делать если у нас есть эта некрасивая переменная /параметр lambda ? ее занулить и как что то еже делать с ней?

2) Если применять теорему точнее ее частные случаи то считать ли lambda как  еще одну неизвестную переменную ..? Если считать то получается что ранг к примеру  равен 4 а переменных 5 а тогда срабатывает другой частный случай когда  ранг меньше числа неизвестных а тогда система имеет бесконечное  число решений и неопределенна
Так в какую сторону копать? подскажите пожалуйста

[tig81]

значит надо узнать ранг матрицы основной и расширенной...в данном примере получается что ранг основной матрицы равен  4 (4 строки, нулевых строк нет) а ранг расширенной матрицы тоже 4 (хотя в ней уже и 5 столбцов). 

возможно, но не видя решения сложно сказать. Параметр \( \lambda \) исчез?

1) Нужно ли делать элементарные преобразования над матрицами, прежде чем  узнавать их ранг?(вдруг где то всплывет нулевая строка). Если надо то как же это делать если у нас есть эта некрасивая переменная /параметр lambda ? ее занулить и как что то еже делать с ней?

нет, работать с этим параметром

2) Если применять теорему точнее ее частные случаи то считать ли lambda как  еще одну неизвестную переменную ..?

нет, это некоторые неизвестный параметр, в зависимости от значения которого ранги могут отличаться

Если считать то получается что ранг к примеру  равен 4 а переменных 5 а тогда срабатывает другой частный случай когда  ранг меньше числа неизвестных а тогда система имеет бесконечное  число решений и неопределенна

Вам надо найти количество решений СЛАУ или исследовать ее на совместность?

[david25]

Ну меня если честно смущает этот Параметр \( \lambda \).  Исходя из написанного вами я так понял что у меня ранг матриц может изменяться в зависимости от этого параметра.То есть нужно какие то манипуляции делать с ним  и потом на основе полученных результатов уже смотреть чему будут равны  ранги обеих матриц.

Опять таки ну вот представил я матрицу основную в таком виде:

 2   -1  3  4
 4   -2  5  6
 6   -3  7  8
lbd  -4  9 10

А расширенную в таком виде:

 2   -1  3   4   5
 4   -2  5  6   7
 6   -3  7  8   9
lbd  -4  9 10  11

Ну исходя из того что ранг матрицы равен либо наивысшему порядку миноров этой матрицы либо максимальному числу линейно независимых строк (столбцов), то опять таки начинаю теряться что делать с лямбдой Ну в смысле можно ли оценивать ранг матрицы чисто по количеству строк матриц? когда раньше решал так и было все ненулевые строки считались но тогда выполнялись элементарные преобразования а сейчас их не надо выполнять как я понял...Главная диагональ это вектор 2 -2 7 10 .Не думаю  что 5- столбец здесь каким то лешим будет что от играть ,или нет?

П.С. в задании ниче не уточняется...написано тупо так как я назвал тему ,то есть исследовать систему и найти общее решение относительно параметра

[tig81]

приводите матрицу к ступенчатому виду.

[david25]

 То есть к треугольному? Но а что делать с параметром...типа не трогать пока? все равно он лежит на побочной диагонали)

[tig81]

То есть к треугольному?

ну... к ступенчатому, но также, как вы приводите к треугольному

Но а что делать с параметром...типа не трогать пока? все равно он лежит на побочной диагонали)

работать с ним как и с любым другим числом. Параметр находится в первом столбце, т.е. это место надо будет обнулять.

[david25]

Тааак..посчитал вот какая матрица основная получилась)

2   -1   3   4
0   4.5   7.5   8
0   0   -2   -4
0   0   0   0

А рсширенная получилась такой :

2   -1     3      4       5
0   3.5  -8.5 -10   -11.5
0    0     -2    -4      -6
0    0      0      0       0

Ну получаеться вышло что ранги не 4 равны а по 3 (4 строки минус 1 одна нулевая). Таак ..кажется я тупил по полной...получается что у нас 
ранг меньше чем кол-во неизвестных а значит система несовместима и имеет бесконечное множество решений
Или я опять тороплю события и лезу не в ту степь?    

[tig81]

показывайте полное решение.

[david25]

ага вот:
Исходная матрица имеет вид:

2   -1   3   4
4   -2   5   6
6   -3   7   8
1   4   9   10

Найдем определитель матрицы, для этого приведем матрицу к треугольному виду, т.е. к такому виду, при котором все элементы ниже диагонали равны 0. При таком виде определитель равен произведению элементов по диагонали.

вычтем 1-ую строку из остальных строк так, что бы в 1-ом столбце все элементы ниже обратились в 0, домножая на 2, 3, 0.5, соответсвенно

2   -1   3   4
0   0   -1   -2
0   0   -2   -4
0   4.5   7.5   8

Так как элемент в 2-ой строке и 2-ом столбце равен 0, то поменяем местами 2-ую и 4-ую строки, знак определителя при этом меняется на противоположный

2   -1   3   4
0   4.5   7.5   8
0   0   -2   -4
0   0   -1   -2

вычтем 3-ую строку из остальных строк так, что бы в 3-ом столбце все элементы ниже обратились в 0, домножая на 0.5, соответсвенно

2   -1   3   4
0   4.5   7.5   8
0   0   -2   -4
0   0   0   0

Ну а расширенная с вашего сайта сразу посчиталась без промежуточных обьяснений..ну я думаю что способ расчеты был похожим в алгоритм те и я же доверяю вашему онлайн калькулятору...или это я наивный?

 
В общем врем позднее уже и мне бы не хотелось лишать ас сна...поэтому продолжим завтра если у вас будет свободное время , настроение и т.д. Во всяком случаи  спасибо что уделяете время такому балбесу ,как я) Я вам очень признателен за это. Надеюсь что в слебующий раз мы добьем все же эту СлАУ, гореть ей в аду!!  Спокойной ночи)

[tig81]

ага вот:
Исходная матрица имеет вид:

2   -1   3   4
4   -2   5   6
6   -3   7   8
1   4   9   10

стоп, а где лямбда делась?

[tig81]

Посмотрите здесь КЛАЦ решенный подобный пример (для того, чтобы скачать, надо зарегистрироваться), методичка правда на украинском, но на математику это сильно не отражается. Вам нужен на странице 12 пример 2.