Автор Тема: Чему равен интеграл?  (Прочитано 3697 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Чему равен интеграл?
« : 09 Ноября 2010, 20:36:51 »
Этот интеграл появился у меня при решении чисто практической задачи. Я знал только одно с уверенностью: интеграл существует и его значение не превышает 10 (это вытекало из физических соображений). Но когда его предложил на серьезных форумах, практически все знатоки интегралов твердили, что он расходящийся. Пришлось самому налечь, решить численно и найти красивое решение. Потом уж задним числом мои критики убедились в моей правоте и сумели математически четко решить задачу. Вот этот интерал:

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{ctg(x)}{x} \right )dx \)

Сможет ли кто из Вас взять этот интеграл просто и красиво?
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн testtest

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 376
    • Просмотр профиля
Re: Чему равен интеграл?
« Ответ #1 : 11 Ноября 2010, 13:41:12 »
\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left x^{-2} dx - \int \limits _{-\infty} ^{\infty}\frac{\cos x}{x \sin x} dx \)

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty}\frac{\cos x}{x \sin x} dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty}\frac{1}{x \sin x} d(\sin x) = \frac1x - \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \sin x d\left(x^{-1} \sin^{-1} x\right) \)

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \sin x d\left(x^{-1} \sin^{-1} x\right) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \sin x\left(\frac{-x^{-2}}{\sin x} + x^{-1}\frac{-\cos x}{\sin^2 x}\right)dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} -x^{-2} dx - \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left(-\frac{\operatorname{ctg} x}{x}\right) dx \)


\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left x^{-2} dx - \frac1x + \int \limits _{-\infty} ^{\infty} -x^{-2} dx - \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left(-\frac{\operatorname{ctg} x}{x}\right) dx \)

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{\operatorname{ctg} x}{x} dx - \frac1x \)

\( -\frac1x - \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{\operatorname{ctg} x}{x} dx - \frac1x \)

\( 0 = 2\int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{\operatorname{ctg} x}{x} dx \)

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2} \right )dx = \left.-\frac1x\right|_{-\infty}^{+\infty} = 0 \)

а теперь найди ошибку :)


просто и красиво будет, видимо, через четность функций, но я в этом нифига не смыслю.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Чему равен интеграл?
« Ответ #2 : 12 Ноября 2010, 18:23:57 »
Ошибку искать не буду. Скажу только, что этот интеграл равен  \( \pi \)
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн testtest

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 376
    • Просмотр профиля
Re: Чему равен интеграл?
« Ответ #3 : 13 Ноября 2010, 10:44:20 »
а как ты считал численно от \( -\infty \) до \( \infty \)?

Оффлайн Dlacier

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Сообщений: 3656
    • Просмотр профиля
Re: Чему равен интеграл?
« Ответ #4 : 14 Ноября 2010, 01:35:13 »
testtest, ошибка в знаке, четвертая строка последнее слагаемое.
В итоге у вас получится \( 0 \equiv 0 \)
Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (с)
Формулы пишите в LaTex.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Чему равен интеграл?
« Ответ #5 : 17 Ноября 2010, 02:05:53 »
а как ты считал численно от \( -\infty \) до \( \infty \)?

Методом простых прямоугольников. Но, учитывая, что функция симметрична относительно нуля координат, то вычислял площадь от 0 до бесконечности. Число разбиений доводил до триллионов. Благо, мой мощнейший комп щелкает такие задачки быстро.
Зная мои результаты, друзья-математики уже строго сумели взять этот интеграл. Но выкладки оказались громоздкими. Поэтому я и решил эту задачу выложить - вдруг найдется специалист, который в одну строку одолеет проблему.
« Последнее редактирование: 17 Ноября 2010, 02:09:27 от renuar911 »
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

 

Подскажите как решить интеграл по параметру

Автор sulesh92

Ответов: 4
Просмотров: 2206
Последний ответ 17 Февраля 2011, 21:38:38
от Semen_K