Биссектрисы в прямоугольном треугольнике.

[Semen_K]

Вот опять попалась задачка) То ли я чегото не вижу, толи не знаю что. Вот условие: в прямоугольном треугольнике проведены биссектрисы острых углов. Каждая из них известна. Сколько конкретно не имеет значения. Найти периметр треугольника)
Буду благодарен за идею.

[JamesBlack]

УРА! Решил!!!!

[JamesBlack]

Короче суть в том, что нам надо найти угол в треугольнике, а дальше - по накатанной.

Обозначим катеты как a и b, гипотенузу c, биссектрисы x и y, углы 2A и 90-2A (раз уж альфа нету). 2A лежит между a и с, x исходит из 2A и делит его на A и A, аналогично y и 90-2A.

Берем катеты как проекции биссектрис:
a = xcosA;
b = ycos(90-A)=ysinA;
a/b = x/y * cosA/sinA;

Теперь тоже самое, только проекции не биссектрис, а гипотенузы:
a = ccos2A;
b = ccos(90-2A)=csin2A;
a/b = cos2A/sin2A;

приравниваем правые части:
x/y * cosA/sinA = cos2A/sin2A;
x/y = cos2A*sinA/2*sinA*cosA*cosA;
x/y = cos2A/2*cos²A;
x/y = (2*cos²A - 1) / 2*cos²A;
после преобразований выделим cosA:
cosA = (y/(2y-x))^0.5;

Т.е. мы знаем половинку одного угла.

осталось найти через него и биссектрису катеты, гипотенуза соответствующе  8)

[JamesBlack]

Черт, я допустил непростительную ошибку.
b = ycos(90-A)=ysinA; - неверно, там должно быть b = ycos(45-A). И вот тогда проблемы. И вроде бы все понятно - у нас одна неизвестная величина A, но она под разными тригонометрическими ф-иями, и мне никак не удается их свести к хоть какой-то одной.

Может у кого получится? Тогда и задача будет решена.

[Belthazor4]

Хорошая задачка, стоящая, 2 часа на нее угробил, и в итоге вспомнил что лет 5 назад в школе ее решал, потому что пришел к одному доп построению и вспомнил картинку =) не буду полностью излагать решение и док-во, просто укажу доп построение и что из него можно взять.
1) Пусть АВС - прям треугольник, угол С - 90 градусов, биссектрисы - АА1 и ВВ1.
2)проведем из точки А прямую параллельную ВВ1, точку пересечения этой прямой с прямой параллельной АС и проходящей через В обозначим D, так вот оч примечательный получился треугольник АА1D - у него угол АА1D - получился 90 градусов а угол DАА1 - 45 градусов =)
ну а дальше я думаю очевидно как дорешать =)
спасибо за задачку испытал удовольствие снова ее решив =)

[JamesBlack]

Хм... Ну то что A₁AD = 45, это очевидно, в нем есть по половинке острых углов искомого треугольника. А как ты доказал, что AA₁D - прямой??? У меня что-то не получается.

[Belthazor4]

вечером домой приеду, если буду у компа напишу, щас занят немного =)