Автор Тема: Общий член ряда  (Прочитано 5645 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Общий член ряда
« : 01 Октября 2011, 00:18:35 »
В форуме  ссылка   была решена интересная задача, причем тремя способами. Но ряд оказался несложным. Вот если бы найти общий член более сложного ряда, то это будет что-то!

1  4  9  16  19  24  31  34  39  46  49  54  61 ...
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #1 : 01 Октября 2011, 01:38:09 »
\( a_n=\left(15\cdot(n-2) div 3\right)+\left((n-2) mod 3 + 2\right)^2 \)

...
\( -15+4^2 \) ####### \( 1 \)

\( 0+2^2 \)
\( 0+3^2 \)
\( 0+4^2 \)

\( 15+2^2 \)
\( 15+3^2 \)
\( 15+4^2 \)

\( 30+2^2 \)
\( 30+3^2 \)
\( 30+4^2 \)

\( 45+2^2 \)
...
Неожидал что в минус пойдет по той же схеме. Думал для еденицы придется изощрятся.

А еще можно придумать рекурентное соотношение ведь
1+3+5+7+3+5+7+3+5+7

А еще хотелось бы без mod и div
« Последнее редактирование: 01 Октября 2011, 01:58:04 от Hellko »

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #2 : 01 Октября 2011, 02:19:11 »
Я тоже хочу без дивных мод   :D

Крепкий орешек оказался. Аж голова разболелась ))
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #3 : 01 Октября 2011, 02:39:50 »
Я тоже хочу без дивных мод   :D

Крепкий орешек оказался. Аж голова разболелась ))

мне кажется не получится. в той задаче по сути было 2 ряда которые переключались (-1)^n
а тут 3. если есть переключатель на 3 позиции, то можно подумать.
Мне сейчас в голову ничего не приходит, но если брать какие то очень специальные функции, то с div и mod лучше будет.
мб как то можно скомпановать (-1)^n
« Последнее редактирование: 01 Октября 2011, 02:47:02 от Hellko »

Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #4 : 01 Октября 2011, 02:56:51 »
О, я придумал такую.
\( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot n\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3} \)
в результате выполнения дает
n=0 => +0
n=1 => +1
n=2 => -1
n=3 => +0
...

будем думать...

Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #5 : 01 Октября 2011, 03:31:21 »
Спать хочу. немогу придумать чем заменить div

Сама последовательность представляет из себя следующее
1 15+1 30+1
4 15+4 30+4 ...
9 15+9 30+9
Получим для начала такую формулу чтобы в зависимости от n циклично давала значения 1 4 9.

Введем функцию для удобства записи:
P(x)=\( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot (n+x)\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3} \)
когда P(0)=0, то P(1)=1, а P(2)=-1

Запишем нашу заготовку так: \( a_n=i(1-2^{P(0)})+j(1-2^{P(1)})+k(1-2^{P(2)}) \)
И посмотрим какие она принимает значения.
Она принимает 3 значения:
n=1: \( k/2-j \)
n=2: \( j/2-i \)
n=3: \( i/2-k \)
Приравняем их к нужным нам (1 4 9) и решим систему получим:
\( a_n=\left(\frac{-54}{7}\right)(1-2^{P(0)})+\left(\frac{-52}{7}\right)(1-2^{P(1)})+\left(\frac{-90}{7}\right)(1-2^{P(2)}) \)
Полученое выражение хорошо повторяет числа. 1 4 9 циклично.
А как сделать прибавку 15 через какждые 3 члена кроме как через div из предыдущего примера, я не вижу. и ваще засыпаю.

Целиком сие выглядит как то так:


Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #6 : 01 Октября 2011, 03:40:31 »
\(
\large
\left(1-2^{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot (n+0)\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3}}\right)\cdot\left(\frac{-54}{7}\right)+
\left(1-2^{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot (n+1)\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3}}\right)\cdot\left(\frac{-52}{7}\right)+
\left(1-2^{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot (n+2)\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3}}\right)\cdot\left(\frac{-90}{7}\right)
 \)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281+-+2^%28SIN%282%C2%B7pi%2F3%C2%B7%28n++plus+0%29%29%C2%B72%2F%E2%88%9A3%29%29%C2%B7%28-+54%2F7%29+plus++%281+-+2^%28SIN%282%C2%B7pi%2F3%C2%B7%28n+plus++1%29%29%C2%B72%2F%E2%88%9A3%29%29%C2%B7%28-+52%2F7%29++plus+%281+-+2^%28SIN%282%C2%B7pi%2F3%C2%B7%28n++plus+2%29%29%C2%B72%2F%E2%88%9A3%29%29%C2%B7%28-+90%2F7%29
« Последнее редактирование: 01 Октября 2011, 03:49:15 от Hellko »

Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #7 : 01 Октября 2011, 03:57:21 »
О, я придумал такую.
\( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot n\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3} \)
в результате выполнения дает
n=0 => +0
n=1 => +1
n=2 => -1
n=3 => +0
...

будем думать...
А ведь можно тогда будет сделать сколь угодно позиционный переключатель Оо.
И просто решать систему уравнений количеством = количество позиций.. куда меня понесло))

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #8 : 01 Октября 2011, 18:25:57 »
Одолел я задачку. Удалось только с модой:

\( a = 2( n\, mod \, 3)[2-(n\, mod\, 3)]+5n-6 \)

Вот так все просто...



Во задачка для теоретиков !!!

Поступил я следующим образом. Если обозначить m= (n mod 3), то решение ищем в виде общей формулы:

\( a_n=k_1 m^2+k_2 m +k_3 n +k_4 \)

Составил 4 уравнения с 4-мя неизвестными и нашел:

\( a_n=-2m^2+4m+5n-6 \)

Далее ясно.


« Последнее редактирование: 01 Октября 2011, 18:46:30 от renuar911 »
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #9 : 01 Октября 2011, 22:44:47 »
 А без mod? так и я решил.
Я вот не могу придумать как сделать ряд 0 0 0 1 1 1 2 2 2... Если придумать, то сделаю. без mod.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #10 : 01 Октября 2011, 23:23:19 »
У Вас мод и див. А это все-таки разница.
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #11 : 02 Октября 2011, 00:25:49 »
А без mod? так и я решил.
Я вот не могу придумать как сделать ряд 0 0 0 1 1 1 2 2 2... Если придумать, то сделаю. без mod.
А что тут думать? Целые части ряда:

\( \frac{0}{3} \,\frac{1}{3} \,\frac{2}{3} \quad  \frac{3}{3} \,\frac{4}{3} \,\frac{5}{3} \quad \frac{6}{3} \,\frac{7}{3} \,\frac{8}{3} \quad \frac{9}{3} \,\frac{10}{3} \,\frac{11}{3} \quad \frac{12}{3} \,\frac{13}{3} \,\frac{14}{3} \quad  \)
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #12 : 02 Октября 2011, 00:36:09 »
А без mod? так и я решил.
Я вот не могу придумать как сделать ряд 0 0 0 1 1 1 2 2 2... Если придумать, то сделаю. без mod.
А что тут думать? Целые части ряда:

\( \frac{0}{3} \,\frac{1}{3} \,\frac{2}{3} \quad  \frac{3}{3} \,\frac{4}{3} \,\frac{5}{3} \quad \frac{6}{3} \,\frac{7}{3} \,\frac{8}{3} \quad \frac{9}{3} \,\frac{10}{3} \,\frac{11}{3} \quad \frac{12}{3} \,\frac{13}{3} \,\frac{14}{3} \quad  \)
я ошибся. я имел ввиду без div. от mod я избавился введением функции которая в зависимости от n принимает 3 разных значенияю

Оффлайн Hellko

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 363
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #13 : 02 Октября 2011, 00:57:54 »
Модифицировал ваше решение.
\( (n mod3) \) Заменил на
\( \sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot (n-1)\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3}+1 \)
Ответ получился без div и без mod

\( a_n=2\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot (n-1)\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3}+1\right)\cdot\left[2-\left(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\cdot (n-1)\right)\cdot\frac{2}{\sqrt3}+1\right)\right]+5n-6 \)

« Последнее редактирование: 02 Октября 2011, 01:04:50 от Hellko »

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Общий член ряда
« Ответ #14 : 02 Октября 2011, 01:08:27 »
Да, проверил. Все верно работает! Совместными усилиями идем к истине!  :D
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.