Автор Тема: Почленное дифференцирование или...)  (Прочитано 4950 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн AterLou

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 5
    • Просмотр профиля
Применяя почленное дифференцирование или интегрирование вычислить сумму ряда:

2*x^2/2-2^2*x^3/2*3+2^3*x^4/3*4-2^4*x^5/4*5+...

Препод всё хвалит этот ряд за интересноть решения.Попробуйте-порешайте)

Оффлайн renuar911

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2489
  • От форм математических бушует вся душа
    • Просмотр профиля
Re: Почленное дифференцирование или...)
« Ответ #1 : 18 Августа 2011, 00:02:47 »
Задача интересная, но очень уж простая. Итак, нужно вычислить сумму ряда:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \, \frac{2^n x^{n+1}}{n(n+1)} \)

Если взять производную общего члена, то будем иметь хорошо известный ряд:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \, \frac{2^n x^n}{n}=ln(2x+1) \)

Интегрируя последнее выражение и отбрасывая константу \( -\frac{1}{2} \)  находим:

\( \int ln(2x+1) dx = ln(2x+1)\left ( x+\frac{1}{2}\right ) - x \)

Производная от этого ответа даст \( ln(2x+1) \). Все верно.
« Последнее редактирование: 18 Августа 2011, 00:20:39 от renuar911 »
За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.