Иррациональное уравнение

[Валентин@]

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения
\( (\sqrt{x+3}-\sqrt{5})(0.25x-2.5)=(x-2)(\sqrt{6+x}-4) \)
Я решала следующим образом:
вынесла 0,25 за скобки и умножила обе части уравнения на \( (\sqrt{x+3}+\sqrt{5})(\sqrt{6+x}+4) \):
\( (\sqrt{x+3}-\sqrt{5})0,25(x-10)(\sqrt{x+3}+\sqrt{5})(\sqrt{6+x}+4)=(x-2)(\sqrt{6+x}-4)(\sqrt{x+3}+\sqrt{5})(\sqrt{6+x}+4) \)
После применения формулы разности квадратов и приведения подобных членов, получила
\( 0.25(x-2)(x-10)(\sqrt{6+x}+4)=(x-2)(x-10)(\sqrt{x+3}+\sqrt{5}) \)
Затем перенесла все в левую часть и вынесла общие множители за скобки
\( (x-2)(x-10)(0.25(\sqrt{6+x}+4)-(\sqrt{x+3}+\sqrt{5}))=0 \)
Получила произведение 3 множителей равное 0
С двумя первыми множителями не возникло проблем x=2 и x=10, а вот что делать с этим не знаю
\( 0.25(\sqrt{6+x}+4)-(\sqrt{x+3}+\sqrt{5}))=0 \)
Что я только не делала: возводила в квадрат, группировала, пыталась ввести замену - все не получается.

[Dimka1]

Под корнем представить 6+x=3+(x+3)
Дальше подстановка x+3=a²

[Валентин@]

Что-то совсем у меня не получается: ввела замену
\( 0,25(\sqrt{a^{2}+3}+4)=a+\sqrt{5} \)
Я умножила обе части на 4, оставила корень в левой части, а 4 перенесла вправо
\( \sqrt{a^{2}+3}=4a+4\sqrt{5}-4 \)
После возведения обеих частей уравнения в квадрат и приведения всех подобных членов, получила вот такое квадратное уравнение:
\( 15a^{2}+(32\sqrt{5}-32)a+(93-32\sqrt{5})=0 \)
Пыталась найти корни, не получается.

[Dimka1]

по возможности посмотрю. Сейчас некогда

[mad_math]

Тут просто нужно немного внимательности:
\( 0,25x-2,5=\frac{x-10}{4}=\frac{x+6-16}{4}=\frac{(\sqrt{x+6}-4)(\sqrt{x+6}+4)}{4} \)

\( x-2=x+3-5=(\sqrt{x+3}-\sqrt{5})(\sqrt{x+3}+\sqrt{5}) \)

После вынесения общих множителей останется обычное иррациональное уравнение, которое решается возведением в квадрат.

[Валентин@]

Тут просто нужно немного внимательности:
\( 0,25x-2,5=\frac{x-10}{4}=\frac{x+6-16}{4}=\frac{(\sqrt{x+6}-4)(\sqrt{x+6}+4)}{4} \)

\( x-2=x+3-5=(\sqrt{x+3}-\sqrt{5})(\sqrt{x+3}+\sqrt{5}) \)

После вынесения общих множителей останется обычное иррациональное уравнение, которое решается возведением в квадрат.

Это все сделано и найдены корни от 2 первых множителей, а вот как раз обычное иррациональное уравнение, которое остается, мне и не дается. Вот оно
\( 0.25(\sqrt{6+x}+4)-(\sqrt{x+3}+\sqrt{5})=0 \)
Попробовала как посоветовали взять уравнение заменой x+3=a², не получается.

[Dimka1]

Там сложные корни получаются, но они не подходят по ОДЗ

[Валентин@]

Там сложные корни получаются, но они не подходят по ОДЗ

Это уравнение С1 из брошюры по подготовке к ЕГЭ 2007 года, надо последнее уравнение изначально отмести из рассмотрения, так как в ответе дана только сумма х1+х2=12. Только вот как это сделать?
Dimka1, Вы, по-моему, какой-то другой метод решения предлагали. Если можно, то подробнее, пожалуйста.

[Dimka1]

В "том" методе была ошибка, и я его удалил.
Уравнение 15x²+... является квадратным, но с иррациональными коэффициентами.
Оно решается обычным способом (через дискриминант). Только вот два корня этого уравнения получаются страшными, все они меньше нуля (на калькуляторе посчитайте) и не удовлетворяют ОДЗ. Соответственно, это уравнение отбрасываем.

[Валентин@]

Про "метод" понятно 

Уравнение 15x²+... является квадратным, но с иррациональными коэффициентами.
Оно решается обычным способом (через дискриминант). Только вот два корня этого уравнения получаются страшными, все они меньше нуля (на калькуляторе посчитайте) и не удовлетворяют ОДЗ. Соответственно, это уравнение отбрасываем.

Это тоже все понятно. Только вот меня не покидает мысль, что можно как-то обойтись без решения последнего уравнения, ведь если в бланке ЕГЭ будешь искать эти корни, места не хватит; да и калькулятором пользоваться нельзя, чтобы посчитать отрицательны корни или нет.

[Dimka1]

Знаю.
На то оно и в разделе "С".
Спросите у своей училке как в этом случае поступить. Но думаю, что легким путем не обойтись.

[mad_math]

Тут просто нужно немного внимательности:
\( 0,25x-2,5=\frac{x-10}{4}=\frac{x+6-16}{4}=\frac{(\sqrt{x+6}-4)(\sqrt{x+6}+4)}{4} \)

\( x-2=x+3-5=(\sqrt{x+3}-\sqrt{5})(\sqrt{x+3}+\sqrt{5}) \)

После вынесения общих множителей останется обычное иррациональное уравнение, которое решается возведением в квадрат.

Это все сделано и найдены корни от 2 первых множителей

Значит это мне нужно быть внимательнее

[Валентин@]

Значит это мне нужно быть внимательнее

Со всеми бывает.

Знаю.
На то оно и в разделе "С".
Спросите у своей училке как в этом случае поступить. Но думаю, что легким путем не обойтись.

Я нашла легкий путь - графический метод.
\( \sqrt{6+x}+4=4\sqrt{x+3}+4\sqrt{5} \)
Построила схематически 2 графика, где видно, что они не пересекаются.

А по поводу училки - я школу закончила 10 лет назад 

[Dimka1]

А по поводу училки - я школу закончила 10 лет назад 

Зачем тогда это Вам нужно?

[Валентин@]

Зачем тогда это Вам нужно?

Решила вспомнить свои знания и попрактиковаться
Знакомая попросила помочь дочери при сдаче ЕГЭ.