Автор Тема: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)  (Прочитано 3946 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн getmax

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« : 23 Марта 2015, 21:18:14 »
(sin^8x)dx/(cos^8x)

не могу понять как это решить.Два часа мучался ничего толкового не вышло.
Мне нужно подробно.Спасибо заранее.

P.s.Во вложениях прикрепил на всякий случай

Оффлайн tig81

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Сообщений: 15181
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #1 : 23 Марта 2015, 22:17:56 »
(sin^8x)dx/(cos^8x)

не могу понять как это решить.Два часа мучался ничего толкового не вышло.
Мне нужно подробно.Спасибо заранее.

P.s.Во вложениях прикрепил на всякий случай
Замена \( \rm{tg} \)\( {x}=t \)

Оффлайн getmax

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #2 : 23 Марта 2015, 22:22:35 »
я пробовал, получается
tgx=t
t^8dx
dx=dt/1+t^2
И ничего не получается

Оффлайн tig81

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Сообщений: 15181
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #3 : 23 Марта 2015, 22:24:56 »
я пробовал, получается
tgx=t
t^8dx
dx=dt/1+t^2
И ничего не получается
непонятна запись, прикрепляйте картинку

И посмотрите примеры
ссылка

Оффлайн Юрик

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 123
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #4 : 24 Марта 2015, 13:22:51 »
И ничего не получается
Рекомендую попробовать так.
\( \begin{gathered}  \int {\frac{{{{\sin }^8}x}}{{{{\cos }^8}x}}dx}  = \int {{{\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)}^4}dx}  = \int {\left( {1 - \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\cos }^4}x}} - \frac{4}{{{{\cos }^6}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^8}x}}} \right)dx}  = ... \hfill \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^8}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2}x + 1} \right)}^3}d\left( {tgx} \right)}  = ... \hfill \\ \end{gathered}  \)

Оффлайн getmax

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #5 : 24 Марта 2015, 14:37:01 »
И ничего не получается
Рекомендую попробовать так.
\( \begin{gathered}  \int {\frac{{{{\sin }^8}x}}{{{{\cos }^8}x}}dx}  = \int {{{\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)}^4}dx}  = \int {\left( {1 - \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{6}{{{{\cos }^4}x}} - \frac{4}{{{{\cos }^6}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^8}x}}} \right)dx}  = ... \hfill \\ \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^8}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2}x + 1} \right)}^3}d\left( {tgx} \right)}  = ... \hfill \\ \end{gathered}  \)

если использовать первый способ.Обьясните как вы получили 1/cos^2x -1 Во втором действии.

Оффлайн Dimka1

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 4913
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #6 : 24 Марта 2015, 15:20:03 »
sin8x/cos8x =[tg2x]4

tg2x=1/cos2x-1
Решение задач - практическое искусство; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь....

Оффлайн getmax

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #7 : 24 Марта 2015, 17:26:07 »
интеграл от 4/cos^2x я смогу найти, а как быть с интегралами 6/cos^4x  и далее??

Оффлайн Юрик

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 123
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #8 : 24 Марта 2015, 17:59:26 »
Я же Вам дал подсказку (вторая строка)!
Вот ещё одна.
\( \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^6}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2} + 1} \right)}^2}d\left( {tgx} \right)}  = ... \)

Оффлайн getmax

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #9 : 24 Марта 2015, 18:09:27 »
Я же Вам дал подсказку (вторая строка)!
Вот ещё одна.
\( \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^6}x}}}  = \int {{{\left( {t{g^2} + 1} \right)}^2}d\left( {tgx} \right)}  = ... \)
я не могу понять, как вы пришли к такому виду? и что делать дальше с этим интегралом?

Оффлайн Dimka1

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 4913
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #10 : 25 Марта 2015, 10:17:50 »
1/cos6x =[1/cos2x]3

Используете формулу, которую я Вам писал вверху
tg2x=1/cos2x-1

1/cos2x=tg2x+1 и подставляете в верхнюю формулу

[1/cos2x]3=[tg2x+1]3\=[1+tg2x]*[1+tg2x]2=[1/cos2x]*[1+tg2x]2 дальше под знак интеграла заносите tgx и тогда сомножитель [1/cos2x] уничтожиться
« Последнее редактирование: 25 Марта 2015, 10:28:10 от Dimka1 »
Решение задач - практическое искусство; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь....

Оффлайн getmax

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #11 : 25 Марта 2015, 11:43:39 »
получится (1+tg^2x)^2d(tgx)  ?
дальше то как?

Оффлайн Юрик

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 123
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #12 : 25 Марта 2015, 12:10:43 »
\( \int (1+\operatorname{tg}^2x)^2d(\operatorname{tg}x) = \int (1+2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x)d(\operatorname{tg}x) = ... \)

ЗЫ. А вообще-то, я Вам рекомендую вернуться к замене, рекомендованной tig81, решение получится более коротким, и, стало быть более рациональным.
« Последнее редактирование: 25 Марта 2015, 20:15:47 от tig81 »

Оффлайн getmax

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #13 : 25 Марта 2015, 12:28:00 »
tgx=t
dt=dx/1+t^2

так?

t^8dt/1+t^2
 
что дальше?

Оффлайн Dimka1

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 4913
    • Просмотр профиля
Re: Неопр.Интеграл.(тригонометрич)
« Ответ #14 : 25 Марта 2015, 12:43:05 »
tgx=t

что дальше?

теперь подставляйте сюда

\( \int (1+\operatorname{tg}^2x)^2d(\operatorname{tg}x) = \int (1+2\operatorname{tg}^2x+\operatorname{tg}^4x)d(\operatorname{tg}x) = ... \)
Решение задач - практическое искусство; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь....