Найти все частные производные второго порядка, функция 2-х переменных

[анели]

Найти все частные производные второго порядка заданной функции двух переменных,доказав при этом равенство смешанных производных
\( u={e}^{\frac{x}{y}} \)

1) \( u'_x= ({e}^{\frac{x}{y}})'_x={e}^{\frac{x}{y}} ({\frac{x}{y})'_x={e}^{\frac{x}{y}} {\frac{1}{y}} (x)'_x={e}^{\frac{x}{y}}{\frac{1}{y}}  \)

2)\( u'_y=({e}^{\frac{x}{y}})'_y={e}^{\frac{x}{y}} ({\frac{x}{y})'_y={e}^{\frac{x}{y}} x (\frac{1}{y}})'_y={e}^{\frac{x}{y}} x (-\frac{1}{{y}^{2}})= -\frac{{e}^\frac{x}{y} x}{{y}^{2}} \)

[Dimka1]

теперь смешанные ищите

[tig81]

теперь смешанные ищите

и полные второго порядка

[анели]

помню,помню просто уходила...
3) \( u"_xx=({e}^{\frac{x}{y}} \frac{1}{y})'_x=({e}^{\frac{x}{y}})'_x \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}} (\frac{1}{y})'_x={e}^{\frac{x}{y}}(\frac{x}{y})'_x  \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}}={e}^{\frac{x}{y}}\frac{1}{y} (x)'_x \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}}={e}^{\frac{x}{y}}\frac{1}{y} \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}}   \)
так или есть ошибка?

[анели]

 \( \LARGE 4)  u"_y_y=(-\frac{{e}^{\frac{x}{y}_x}}{{y}^{2}})'_y=-\frac{{x}^{2} {e}^{\frac{x}{y}} {y}^{2}-x {e}^{\frac{x}{y}} 2y}{{y}^{4}} \)

[анели]

\( \LARGE 5) u"_x_y=({e}^{\frac{x}{y}} \frac{1}{y})'_y=({e}^{\frac{x}{y}})'_y \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}}(\frac{1}{y})'_y={e}^{\frac{x}{y}} (\frac{x}{y})'_y  \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}} \frac{1}{{y}^{2}}={e}^{\frac{x}{y}} (-\frac{x}{{y}^{2}}) \frac{1}{y}-\frac{{e}^{\frac{x}{y}}}{{y}^{2}} \)

[Dimka1]

помню,помню просто уходила...
3) \( u"_xx=({e}^{\frac{x}{y}} \frac{1}{y})'_x=({e}^{\frac{x}{y}})'_x \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}} (\frac{1}{y})'_x={e}^{\frac{x}{y}}(\frac{x}{y})'_x  \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}}={e}^{\frac{x}{y}}\frac{1}{y} (x)'_x \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}}={e}^{\frac{x}{y}}\frac{1}{y} \frac{1}{y}+{e}^{\frac{x}{y}}   \)
так или есть ошибка?

ошибка. Должно быть e^x/y/y²

[анели]

чет я не понимаю как такое получается,а где ошиблась,можете подсказать...

[Dimka1]

чет я не понимаю как такое получается,а где ошиблась,можете подсказать...

Вот Ваша первая производная по x
u'^x=e^x/y/y

вот теперь замените "y" на какую нибудь цифру и найдите вторую производную. Затем сделайте обратную замену цифры на букву "y"

[анели]

это берем как производную частного,так? у меня чет не получается...
где я опять ошибаюсь?\( \LARGE  u"_x_x=(\frac{{e}{\frac{x}{y}}}{y})"_x=\frac{({e}^{\frac{x}{y}})'_x y - ({e}^{\frac{x}{y}} ) (y)'_x}{{y}^{2}}=\frac{{\frac{1}{y}}{e}^{\frac{x}{y}}y-{e}^{\frac{x}{y}} y}{{y}^{2}} \)

[tig81]

когда вы дифференцируете по х независимая переменная чем является?

[анели]

константой

[tig81]

константой

производная константы равна...?

[анели]

нулю

[Dimka1]

нулю

соответственно y'=0, вот и подставьте это в свою формулу