Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды

[leno4ek-106]

Вычислить поток векторного поля F через внешнюю поверхность пирамиды, образованной плоскостью P и координатными плоскостями двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса.
\( F=(3x-1)\overline{i} + (-x+y+z)\overline{j} + 4z\overline{k} \)
\( P: 2x-y-2z=2 \)
Помогите пожалуйста по формуле Остроградского расставить пределы интегрирования.

[Alexdemath]

Вычислить поток векторного поля F через внешнюю поверхность пирамиды, образованной плоскостью P и координатными плоскостями двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса.
\( F=(3x-1)\overline{i} + (-x+y+z)\overline{j} + 4z\overline{k} \)
\( P: 2x-y-2z=2 \)

Помогите пожалуйста по формуле Остроградского расставить пределы интегрирования.

Сначала приравнивайте z к нулю, получаете y=2x-2; затем y к нулю получает x=1.

[leno4ek-106]

Сначала приравнивайте z к нулю, получаете y=2x-2; затем y к нулю получает x=1.

Ну да, у меня так и получалось, но насколько я знаю, в ответе должно быть \( \mathbf{2} \), а здесь что-то не выходит.

[Alexdemath]

Сначала приравнивайте z к нулю, получаете y=2x-2; затем y к нулю получает x=1.

Ну да, у меня так и получалось, но насколько я знаю, в ответе должно быть \( \mathbf{2} \), а здесь что-то не выходит.

Откуда вы знаете, что в ответе должно быть 2?

[leno4ek-106]

Сначала приравнивайте z к нулю, получаете y=2x-2; затем y к нулю получает x=1.

Ну да, у меня так и получалось, но насколько я знаю, в ответе должно быть \( \mathbf{2} \), а здесь что-то не выходит.

Откуда вы знаете, что в ответе должно быть 2?

Ну если решать, используя определение потока,  получается 2, хотя я уже столько прорешала, что ни в чем не уверена. Но одинаковые ответы все равно не получаются.((

[leno4ek-106]

Проверьте пожалуйста решение по первому способу.
\( Oxy: z=0; n=k; ds=dxdy \)
\( \Pi_1=4\int\int_{Oxy}zdxdy=4\int\int_{Oxy}0dxdy=0 \)
\( Oxz: y=0; n=j; ds=dxdz \)
\( \Pi_2=\int\int_{Oxz}(z-x)dxdz=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x-1}(z-x)dz=\frac 1 3 \)
\( Oyz: x=0; n=-i; ds=dydz \)
\( \Pi_3=-\int\int_{Oyz}(3x-1)dydz=-\int\int_{Oyz}(-1)dydz=\int\int_{Oyz}dydz=\int_{-2}^{0}dy\int_{-\frac y 2-1}^{0}dz=1 \)
\( Xyz: 2x-y-2z=2; n=\frac {i+j-k} {\sqrt{4+1+4}}=\frac {i+j-k} 3 \)
\( z'_x=1 \)
\( z'_y=\frac {-1} 2 \)
\( z=x-\frac y 2-1 \)
\( dS=\sqrt{\(1+1+\frac 1 4}} dxdy=\frac 3 2 dx dy \)
\( \Pi_4=\int\int_{Xyz}((3x-1)+(-x+y+x)-4z)\frac {3} {6}dxdy=\frac 1 2\int\int_{Xyz}(-x+\frac 5 2 y-4)dxdy=\frac 1 2\int_{0}^{1}dx\int_{2x-2}^{0}(-x+\frac 5 2 y-4)dy=3 \)
\( \Pi=\Pi_1+\Pi_2+\Pi_3+\Pi_4=0+\frac 1 3+1+3=\mathbf{\frac {13} 3} \)
А по-второму получается так:

\( \Pi=\int\int\int_{\Omega}divFdxdydz=8\int\limits_0^1{dx}\int\limits_0^{2x-2}{dy}\int\limits_0^{x-\frac {y} {2}-1}{dz}=\mathbf{\frac 8 3} \)
Где ошибка??

[Alexdemath]

Вычислить поток векторного поля F через внешнюю поверхность пирамиды, образованной плоскостью P и координатными плоскостями двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского - Гаусса.
\( F=(3x-1)\overline{i} + (-x+y+z)\overline{j} + 4z\overline{k} \)
\( P: 2x-y-2z=2 \)

Помогите пожалуйста по формуле Остроградского расставить пределы интегрирования.

Сначала приравнивайте z к нулю, получаете y=2x-2; затем y к нулю получает x=1.

Здесь я неверно расставил пределы интегрирования для y и z. Так как пирамида, образованная пересением плоскости P с координатными плоскостями, расположена в восьмом октанте, то есть где x>0, y<0, z<0, то правильно будет так:

\( \Omega=\left\{(x,y,z)|~x-\frac{y}{2}-1\leqslant{z}\leqslant0,~2x-2\leqslant{y}\leqslant0,~0\leqslant{x}\leqslant1}\right\} \)

Но ответ все равно такой же:

\( \Pi=\iiint\limits_\Omega\operatorname{div}\mathbf{F}\,dxdydz=8\int\limits_0^1{dx}\int\limits_{2x-2}^0{dy}\int\limits_{1-y/2-x}^0{dz}=\frac{8}{3} \)

[leno4ek-106]

А если по первому способу, то там получается \( \frac {13} 3 \). Что же там тогда неправильно??