Метод моментов

[N1KLoD1sAN]

Пусть выборка X1,X2,...,Xn - независимые и одинаково распределенные случайные величины с распределением
p(x) = e^Ѳ-x, x ∈ [1, +∞)
p(x) = 0, x ∉ (-∞, Ѳ], Ѳ > 0
Найти оценку неизвестного параметра Ѳ методом моментов.

Надо приравнять начальный теоретический момент первого порядка с начальным эмпирическим моментом первого порядка: v₁ = M₁.
v1 = (x+1)(-e^Ѳ-x)
M1 = x_ср = Σ x_i/n
Приравняем, получим:
(x+1)(-e^Ѳ-x) = Σ x_i/n
-e^Ѳ-x = Σ x_i/n(x+1)
Ѳ* = ln( -Σ x_i/n(x+1) ) + x = ln ( -x_в/(x+1) ) + x

Правильно ли?

[Dev]

v1 = (x+1)(-e^Ѳ-x)

Что это??? См. определение математического ожидания. Никакого икса там не может быть в принципе. Математическое ожидание - это число.

[N1KLoD1sAN]

А как найти мат. ожидание? Вообще не понимаю..

[Dev]

Формулы для вычисления математического ожидания по заданной плотности есть в любом учебнике по теории вероятностей.

[N1KLoD1sAN]

т.е. 1/x ? Как у показательного распрееделния - xE^-xѲ
Я просто пролистал учебниг Гмурмана, ничего больше не нашёл подходящего

[N1KLoD1sAN]

Взял интеграл от 1 до +бесконечности (xe^t-x)dx = 2e^t-1
2e^t-1 = Σ x_i/n
t* = ln(Σ x_i/n) + 1
так?

[Dev]

Вы плотность сначала поправьте, потом интеграл брать будете. Пока и плотность не плотность, и даже не функция. В первой строке \( x \) должен быть от \( \theta \) (а не от единицы) до бесконечности, во второй - наоборот.