Решение системы уравнений методом обратной матрицы.
Решение СЛАУ методом обратной матрицы
Подробное решение.
Данная система уравнений будет иметь единственное решение
только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при $ X_{1 - n} $ не будет равен нулю. Посчитаем этот определитель.
Если он равен нулю, то система не будет иметь однозначного, единственного решения и программа не
будет решать дальше и выдаст сообщение об ошибке. Если определитель не равен нулю, то будем решать дальше методом обратной матрицы.
Записанную Вами систему можно представить в виде произведения матриц:
$ A \times X = B $, где $ X $ - матрица, содержащая искомые Вами решения системы уравнений.
Найдем матрицу, обратную матрице $ A $, как известно - $ A^{-1} \times A = E $, где $ Е $ - единичная матрица (квадратная матрица с
единицами на главной диагонали), эквивалент '1' в матричном исчислении.
Домножим обе части уравнения слева на $ A^{-1} $.
$ A^{-1} \times A \times X = A^{-1} \times B $
$ E \times X = A^{-1} \times B $
$ X = A^{-1} \times B $
Условие
| 3x
1 | + 5x
2 |
=
7
|
| 2x
1 | + 4x
2 |
=
5
|
Решение
Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X1 - n:
Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.
Согласно описанному выше методу необходимо найти матрицу, обратную матрице, составленной из коэффициентов при элементах X1 - n.
Для этого достроим главный определитель единичной квадратной матрицей того же порядка справа и последовательно, при помощи
элементарных преобразований перенесем единичную
квадратную матрицу справа налево. Квадратная матрица, получившаяся при этом справа и будет обратной к главной. Затем домножим обратную
матрицу на матрицу В (значения находящие за знаком равенства) и получим матрицу решений.
Достраиваем единичную матрицу справа.
Найдем обратную матрицу.
Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит
элементарным преобразованиям матрицы.
Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит
элементарным преобразованиям матрицы.
Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся
на главной диагонали, если он не равен 1. Квадратная матрица, получившаяся правее единичной и есть обратная к главной.
Умножение обратной матрицы (матрицы - А-1) на матрицу значений за знаком равенства (матрицу - В).
Ответ
Решить еще одну систему уравнений методом обратной матрицы >>
