• Главная
• Онлайн калькуляторы
• Решение уравнений

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Подробное решение.
Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при $ X_{1 - n} $ не будет равен нулю. Посчитаем этот определитель и убедившись, что он не равен нулю будем решать дальше. Если он равен нулю, то система не будет иметь однозначного, единственного решения и программа не будет решать дальше и выдаст сообщение об ошибке. Если главный определитель не равен нулю, то строим матрицу подобную главной, только добавляем еще один столбец с числами за знаком равенства, в веденной Вами системе уравнений. Теперь, при помощи элементарных преобразований, приведем левую часть полученной матрицы к единичному виду. Тоесть мысленной выделим в новой матрице $ (n \times n + 1) $ левую матрицу $ (n \times n) $ и приведем ее к единичному виду (оставим только числа на главной диагонали, затем сделаем их единицами). Числа правее приведенной к единичному виду матрице и будут решением Вашей системы уравнений.

Условие

Решение

Найдем определитель главной матрицы, составленной из коэффициентов при X_{1 - n}:

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно данная система уравнений имеет единственное решение. Найдем его.
Достоим главный определитель системы уравнений еще одним столбцом, в который вставим значения за знаком равенства.

Теперь последовательно, при помощи элементарных преобразований преобразуем левую часть матрицы (4 × 4) до треугольного вида (обнулим все коэффициенты находящиеся не на главной диагонали, а коэффициенты на главной диагонали преобразуем до единиц).

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 4 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Вычтем 2 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

Ответ.

Числа получившиеся правее единичной матрицы и будут решением Вашей системы уравнений.

Решить еще одну систему уравнений методом Гаусса >>