Решение СЛАУ 4-ого порядка методом Гаусса, пример № 12

СЛАУ 3-его порядка: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12
СЛАУ 4-ого порядка: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12

Условие

 x 1 + 2x 2 + 2x 3 - 3x 4   =   -2
 2x 1 - x 2 + x 3 + 2x 4   =   -1
 2x 1 + 4x 2 - 3x 3 + 5x 4   =   4
 2x 1 + x 2 + 2x 3 - x 4   =   -2


Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс

Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом - Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы. Если после изучения примеров решения задач у Вас останутся вопросы, то Вы всегда можете задать их на форуме, и не забывайте про наши онлайн калькуляторы для решения задач по теории вероятности и другим предметам!

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 4 × 5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.


1
2
2
-3
2
-1
1
2
2
4
-3
5
2
1
2
-1
-2
-1
4
-2

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 2 - 2 × строка 1)
  • Из строки № 3 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 3 - 2 × строка 1)
  • Из строки № 4 вычтем строку № 1 умноженную на 2 (Строка 4 - 2 × строка 1)

Получим:

1
2
2
-3
0
-5
-3
8
0
0
-7
11
0
-3
-2
5
-2
3
8
2

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 4 (Строка 2 - строка 4)

Получим:

1
2
2
-3
0
-2
-1
3
0
0
-7
11
0
-3
-2
5
-2
1
8
2

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 4 вычтем строку № 2 умноженную на 1.5 (Строка 4 - 1.5 × строка 2)
  • Строку № 2 поделим на -2 (Строка 2 = строка 2 / -2)

Получим:

1
2
2
-3
0
1
0.5
-1.5
0
0
-7
11
0
0
-0.5
0.5
-2
-0.5
8
0.5

Проведём следующие действия:

  • Строку № 4 умножим на -2 (Строка 4 = строка 4 * -2)
  • Поменяем местами строку № 3 и строку № 4

Получим:

1
2
2
-3
0
1
0.5
-1.5
0
0
1
-1
0
0
-7
11
-2
-0.5
-1
8

Проведём следующие действия:

  • К строке № 4 прибавим строку № 3 умноженную на 7 (Строка 4 + 7 × строка 3)
  • Строку № 4 поделим на 4 (Строка 4 = строка 4 / 4)

Получим:

1
2
2
-3
0
1
0.5
-1.5
0
0
1
-1
0
0
0
1
-2
-0.5
-1
0.25

Проведём следующие действия:

  • К строке № 3 прибавим строку № 4 (Строка 3 + строка 4)
  • К строке № 2 прибавим строку № 4 умноженную на 1.5 (Строка 2 + 1.5 × строка 4)
  • К строке № 1 прибавим строку № 4 умноженную на 3 (Строка 1 + 3 × строка 4)

Получим:

1
2
2
0
0
1
0.5
0
0
0
1
0
0
0
0
1
-1.25
-0.125
-0.75
0.25

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 0.5 (Строка 2 - 0.5 × строка 3)
  • Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 1 - 2 × строка 3)

Получим:

1
2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0.25
0.25
-0.75
0.25

Проведём следующие действия:

  • Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 - 2 × строка 2)

Получим:

1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
-0.25
0.25
-0.75
0.25

В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:
х1 = -0.25
х2 = 0.25
х3 = -0.75
х4 = 0.25