Примеры решения задач с интегралами

Интеграл функции является основным понятием интегрального исчисления. Интеграл широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и в других науках. Именно поэтому мы собрали на сайте более 100 примеров решения интегралов и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления интегралов советуем вам прочитать теоретический материал по теме: определения, свойства и таблицу интегралов, методы их вычисления и другой материал по интегралам.


Таблица интегралов

Основные ссылки - таблица интегралов и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Для решения данного интеграла не нужно использовать свойства неопределенных интегралов, достаточно формулы интеграла степенной функции:

В нашем случае , тогда искомый интеграл равен:

Ответ.

Больше примеров решений


Метод непосредственного интегрирования

Основные ссылки - метод непосредственного интегрирования и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого вынесем из знаменателя за знак интеграла

далее, используя таблицу интегралов (Формула №11), получим

Ответ.

Больше примеров решений


Внесение под знак дифференциала

Основные ссылки - внесение под знак дифференциала и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить неопределенный интеграл

Решение. Распишем подынтегральную сумму, используя тригонометрические функции (определение котангенса)

Внесем под знак дифференциала:

Полученный интеграл можно вычислить, используя табличный интеграл

В результате получим

Ответ.

Больше примеров решений


Интегрирование заменой переменной

Основные ссылки - интегрирование заменой переменной и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл

Решение. Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от степенной функции:

Сделаем обратную замену

Ответ.

Больше примеров решений


Интегрирование по частям

Основные ссылки - интегрирование по частям и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого положим

Подставим это в формулу для интегрирования по частям, затем воспользуемся формулой интеграла косинуса из таблицы интегралов

Ответ.

Больше примеров решений


Метод неопределенных коэффициентов

Основные ссылки - метод неопределенных коэффициентов и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Разложить рациональную дробь на простые дроби.

Решение. Так как корнями знаменателя являются значения , , то его можно разложить на множители следующим образом:

А тогда

Искомое разложение имеет вид:

Приводим к общему знаменателю в правой части равенства и приравниваем числители:

Приравнивая коэффициенты, при соответствующих степенях, получаем:

Отсюда, искомое разложение:

Ответ.  

Больше примеров решений


Интегрирование тригонометрических функций

Основные ссылки - универсальная тригонометрическая подстановка и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл

Решение. Для вычисления исходного интеграла введем тригонометрическую замену , тогда

Подставляя это в искомый интеграл, получим

Сделаем обратную замену

Ответ.

Больше примеров решений