Задание. Вычислить приближенно $\text { arctg } 1,02$ , заменяя приращение функции ее дифференциалом.
Решение. Рассмотрим функцию $y=\operatorname{arctg} x$. Необходимо вычислить ее значение в точке $x=1,02$ . Представим данное значение в виде следующей суммы:
$x=x_0+\Delta x$Величины $x_0$ и $\delta x$ выбираются так, чтобы в точке $x_0$ можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а $\delta x$ было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что $x=1,02=1+0,02$ , то есть $x_0=1$, $\Delta x=0,02$.
Вычислим значение функции $y=\operatorname{arctg} x$ в точке $x_0=1$:
$$y\left(x_{0}\right)=y(1)=\operatorname{arctg} 1=\frac{\pi}{4}$$Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение $y^{\prime}\left(x_{0}\right)$:
$$y^{\prime}=(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$$Тогда
$$y^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$$Итак,
$$\begin{aligned} y(1,02) &=\operatorname{arctg} 1,02=y(1+0,02) \approx y(1)+y^{\prime}(1) \cdot \Delta x=\\ &=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cdot 0,02 \approx 0,7852+0,01=0,7952 \end{aligned}$$Ответ. $\operatorname{arctg} 1,02 \approx 0,7952$
