Что такое биссектриса треугольника

Определение биссектрисы треугольника

Определение

Биссектрисой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину с противоположной стороной и делит соответствующий угол пополам.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

На рисунке 1 в треугольнике : - биссектриса угла , - биссектриса угла , - биссектриса угла . Биссектрисы пересекаются в одной точке (на рисунке 1 точка ), которая лежит в середине треугольника и называется инцентром.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные к прилегающим сторонам:

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике : - биссектриса, сторона см, см, отрезок см. Найти длину отрезка .

Решение. По свойству биссектрисы

Подставляя в это равенство исходные данные, получим

(см)

Ответ. см

Пример

Задание. В треугольнике : и - биссектрисы, при пересечении которых образуется угол . Найти угол .

Решение. Так как и - биссектрисы углов и , то

Из по теореме о сумме углов треугольника

или

Откуда

Далее из треугольника по теореме о сумме углов треугольника:

Выразим из этого равенства угол ,

подставляя уже имеющиеся значения для суммы углов, получим

Ответ.

Читать дальше: что такое вершина треугольника.