Теорема косинусов

Формула теоремы косинусов

Теорема

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

То есть для плоского треугольника (рис. 1) со сторонами , и и углом , противолежащим стороне , справедливо соотношение:

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги "Начал" древнегреческого математика Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог, астроном и математик Региомонтан (1436 - 1476), назвав её "теоремой Альбатегния" (по имени выдающегося средневекового астронома и математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 - 929).

В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 - 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Следствие из теоремы косинусов

  1. Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. 1):

  2. Если , то угол - острый;

    Если , то угол - прямой;

    Если , то угол - тупой.

Примеры решения задач

Пример

Задание. В треугольнике , и . Найти угол, противолежащий стороне

Решение. Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:

Тогда

Ответ.

Пример

Задание. Задан треугольник , длины сторон которого , , . Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.

Решение. Согласно теореме косинусов

Тогда

Ответ.