Теорема сложения вероятностей

Формулировка теоремы сложения вероятностей

Теорема

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Несколько событий называются несовместными, если никакие из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента.

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий:

Говорят, что события образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет, хотя бы одно из событий этой группы.

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

здесь - событие, противоположное событию .

Примеры решения задач

Пример

Задание. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события:

Выиграть не менее 20 руб

Выиграть 20 руб

Выиграть 100 руб

Выиграть 500 руб

Очевидно, что

Тогда по теореме сложения вероятностей имеем:

Ответ.

Пример

Задание. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад ; во второй - ; в третий - . При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение. Рассмотрим события:

Склад взрывается

Попадание в первый склад

Попадание во второй склад

Попадание в третий склад

Введенные события связаны равенством:

Так как при сбрасывании одной бомбы события несовместны, то

Ответ.