Что такое развёрнутый угол

Задание. Развернутый угол разделен лучом на два угла, градусные меры которых относятся как 1:4. Найдите полученные углы.

Решение. Обозначим искомые углы как $\alpha$ и $\beta$ . Пусть $x$ - коэффициент пропорциональности, тогда $\alpha = x$, а соответственно $\beta = 4x$ . Так как градусная мера развернутого угла равна $180^{\circ}$ и согласно свойствам угла, что градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами, то делаем вывод, что

$$x+4 x=180^{\circ} \Rightarrow 5 x=180^{\circ}$$

Отсюда находим:

$x=\alpha=36^{\circ}$ и $\beta=4 x=4 \cdot 36^{\circ}=144^{\circ}$

Ответ. $36^{\circ}$ и $144^{\circ}$

Задание. Луч $OC$ делит развернутый угол $AOB$ на два угла $AOC$ и $BOC$ так, что угол $AOC$ на $30^{\circ}$ больше угла $BOC$ . Найти углы $AOC$ и $BOC$ .

Решение. Изобразим заданный развернутый угол и проведем луч $OC$ (рис. 2).

Пусть $\angle B O C=x^{\circ}$, тогда из условия получаем, что $\angle A O C=(x+30)^{\circ}$. Так как эти углы являются смежными, то их сумма равна $180^{\circ}$, то есть

$$\angle A O C+\angle B O C=180^{\circ}$$

а тогда

$$x+x+30=180 \Rightarrow 2 x=150 \Rightarrow x^{\circ}=\angle B O C=75^{\circ}$$

Отсюда

$$\angle A O C=(x+30)^{\circ}=105^{\circ}$$

Ответ. $\angle A O C=105^{\circ}, \angle B O C=75^{\circ}$